1986-广东文-35 填-奇函数性质求值

本题导读

本题考查函数的奇偶性与求值。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 若 $f(x)=x^2+\lg \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$，且 $f(2)=4.627$，则 $f(-2)$ 的值是\u3000\u3000.

🔍【思路分析】

破题导航

$g(x)=\lg (x+\sqrt{1+x^2})$ 是奇函数：$g(-x)=-g(x)$。

✅【答案】

Success

$3.373$

✍【详细解析】

Abstract

设 $g(x)=\lg (x+\sqrt{1+x^2})$。因 $(x+\sqrt{1+x^2})(-x+\sqrt{1+x^2})=1$，故 $g(-x)=\lg (-x+\sqrt{1+x^2})=-\lg (x+\sqrt{1+x^2})=-g(x)$，$g$ 为奇函数。$f(2)=4+g(2)=4.627$，故 $g(2)=0.627$。$f(-2)=4+g(-2)=4-g(2)=4-0.627=3.373$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数性质求值

核心方法：$g(x)=\lg (x+\sqrt{1+x^2})$ 为奇函数。

避坑指南：$f(-2)=4-2\lg (2+\sqrt{5})=4-0.627=3.373$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1986 上海理第 15 题同考奇函数。

结论推广：$x+\sqrt{1+x^2}$ 的倒数关系：$-x+\sqrt{1+x^2}=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}$。

方法推广：$g(x)=\lg (x+\sqrt{1+x^2})$ 是奇函数，$f(x)=x^2+g(x)$ 满足 $f(-x)=f(x)-2g(x)$ 型关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1986-上海理-15 单-对数函数的奇偶性
• 1988-广东文-14 单-奇函数的单调性