1986-广东文-21 单-动圆心的轨迹方程

本题导读

本题考查动圆圆心的轨迹方程。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 若动圆与圆 $(x+2{)}^2+y^2=4$ 相外切，且与直线 $x=2$ 相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ()

A. $y^2+8x=0$

B. $y^2-8x=0$

C. $y^2-12x+12=0$

D. $y^2+12x-12=0$

E. $y^2-6x+6=0$

🔍【思路分析】

破题导航

外切：圆心距 $=r+2$；与 $x=2$ 相切：$r=|x-2|$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

定圆圆心 $(-2,0)$，半径 $2$。设动圆心 $(x,y)$，半径 $r$。与 $x=2$ 相切：$r=|x-2|$；外切：$\sqrt{(x+2{)}^2+y^2}=r+2$。若 $x<2$，$r=2-x$，平方得 $(x+2{)}^2+y^2=(4-x{)}^2$，展开 $x^2+4x+4+y^2=16-8x+x^2$，即 $y^2=12-12x$，得 $y^2+12x-12=0$。若 $x>2$，$r=x-2$，得 $(x+2{)}^2+y^2=x^2$，即 $y^2=-4x-4$，要求 $x\le -1$ 与 $x>2$ 矛盾，舍去。故轨迹为 $y^2+12x-12=0$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：动圆心的轨迹方程

核心方法：外切：$(x+2{)}^2+y^2=(r+2{)}^2$；与 $x=2$ 相切：$r=|x-2|$。

避坑指南：$x<2$ 时得 $y^2+12x-12=0$，选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1986 广东理第 16 题同题（选项顺序不同）。

结论推广：圆与直线相切：圆心距等于半径；圆与圆外切：圆心距等于半径之和。

方法推广：与竖直线相切时 $r=|x-x_0|$ 要分 $x$ 的位置讨论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-16 单-动圆心的轨迹方程
• 1986-上海文-12 单-圆心轨迹