1986-广东文-20 单-椭圆与抛物线的交点

本题导读

本题考查椭圆与抛物线交点个数的判定。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 椭圆 $\frac{(x+1{)}^2}{4}+y^2=1$ 与抛物线 $y=1-(x+1{)}^2$ 的交点的个数是 ()

A. $0$　　　　　B. $1$　　　　　C. $2$　　　　　D. $3$　　　　　E. $4$

🔍【思路分析】

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设 $t=(x+1{)}^2\ge 0$，代入椭圆方程。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由抛物线 $y=1-(x+1{)}^2$，设 $t=(x+1{)}^2\ge 0$，则 $y=1-t$。代入椭圆：$\frac{t}{4}+(1-t{)}^2=1$，即 $t^2-\frac{7}{4}t=0$，得 $t=0$ 或 $t=\frac{7}{4}$。$t=0$：$x=-1$，$y=1$；$t=\frac{7}{4}$：$x+1=\pm \frac{\sqrt{7}}{2}$，$y=-\frac{3}{4}$，两个交点。共 $3$ 个交点。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与抛物线的交点

核心方法：设 $t=(x+1{)}^2\ge 0$，代入得 $t^2-\frac{7}{4}t=0$。

避坑指南：$t=0$ 与 $t=\frac{7}{4}$ 共给 $3$ 个交点，选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1986 广东理第 15 题同题。

结论推广：两曲线交点个数转化为方程组解的个数。

方法推广：含 $(x+1{)}^2$ 的代换 $t\ge 0$ 是减少运算的关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-15 单-椭圆与抛物线的交点
• 1988-广东理-19 单-函数图象的交点个数