1986-广东文-17 单-根式条件与角的范围

本题导读

本题考查根式化简与角的范围判定。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 若 $\beta \in [0,2\pi )$，且 $\sqrt{1-{\cos }^2\beta }+\sqrt{1-{\sin }^2\beta }=\sin \beta -\cos \beta$，则 $\beta$ 的取值范围是 ()

A. $[0,\frac{\pi }{2}]$　　B. $[\frac{\pi }{2},\pi ]$　　C. $[\pi ,\frac{3}{2}\pi ]$　　D. $[\frac{3}{2}\pi ,2\pi )$　　E. $[\frac{\pi }{4},\frac{5}{4}\pi ]$

🔍【思路分析】

破题导航

左边 $=|\sin \beta |+|\cos \beta |$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=|\sin \beta |$，$\sqrt{1-{\sin }^2\beta }=|\cos \beta |$。条件即 $|\sin \beta |+|\cos \beta |=\sin \beta -\cos \beta$，需 $|\sin \beta |=\sin \beta$ 且 $|\cos \beta |=-\cos \beta$，即 $\sin \beta \ge 0$ 且 $\cos \beta \le 0$。在 $[0,2\pi )$ 内为 $\beta \in [\frac{\pi }{2},\pi ]$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：根式条件与角的范围

核心方法：左边 $=|\sin \beta |+|\cos \beta |=\sin \beta -\cos \beta$。

避坑指南：需 $\sin \beta \ge 0$ 且 $\cos \beta \le 0$，$\beta \in [\frac{\pi }{2},\pi ]$，选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1989 广东理第 21 题同考根式与象限。

结论推广：$\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=|\sin \beta |$。

方法推广：去绝对值必须按象限讨论符号。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1989-广东理-21 单-半角的象限判断
• 1986-上海文-13 单-半角符号与象限