1986-广东文-09 单-分类计数选医疗小组

本题导读

本题考查分类加法计数原理与组合数的应用。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 从 $8$ 名男医生和 $7$ 名女医生中选 $5$ 人组成一个医疗小组，如果这个小组中至少有 $2$ 名男医生和至少有 $2$ 名女医生，则不同选法的种数是 ()

A. $(C_8^3+C_7^2)\cdot (C_8^2+C_7^3)$

B. $(C_8^3+C_7^2)+(C_8^2+C_7^3)$

C. $C_8^2\cdot C_7^3$

D. $C_8^2\cdot C_7^2\cdot C_{11}^1$

E. $C_8^2{C}_7^3+C_8^3{C}_7^2$

🔍【思路分析】

破题导航

按男女人数分 $(2,3)$、$(3,2)$ 两类。

✅【答案】

Success

E

✍【详细解析】

Abstract

选 $5$ 人且男 $\ge 2$、女 $\ge 2$，男女人数只能为 $(2,3)$ 或 $(3,2)$。$2$ 男 $3$ 女：$C_8^2{C}_7^3$ 种；$3$ 男 $2$ 女：$C_8^3{C}_7^2$ 种。由分类加法原理共 $C_8^2{C}_7^3+C_8^3{C}_7^2$ 种。故选 E。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分类计数选医疗小组

核心方法：男 $\ge 2$ 且女 $\ge 2$ 分 $(2,3)$、$(3,2)$ 两类。

避坑指南：$C_8^2{C}_7^3+C_8^3{C}_7^2$，选 E。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1987 上海第 24 题同考组合计数。

结论推广：“至少”型计数按元素个数分类，各类相加。

方法推广：分类要完整且不重复：男女人数只有 $(2,3)$、$(3,2)$ 两类。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1987-上海-24 单-不相邻的排列
• 1990-广东理-04 单-排列分排计数