1986-广东文-05 单-半角公式求正弦

本题导读

本题考查二倍角公式的逆用，以及根式的符号。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 若 $\cos 2\alpha =-\frac{3}{5}$，且 $\alpha \in [0,\frac{\pi }{2}]$，则 $\sin \alpha =$()

A. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$　　　　B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$　　　　C. $\frac{\sqrt{5}}{10}$　　　　D. $\frac{1}{5}$　　　　E. $\frac{2}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =-\frac{3}{5}$，故 ${\sin }^2\alpha =\frac{4}{5}$。因 $\alpha \in [0,\frac{\pi }{2}]$，$\sin \alpha \ge 0$，故 $\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角公式求正弦

核心方法：$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =-\frac{3}{5}$。

避坑指南：$\sin \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$（取正），选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1987 广东文第 12 题同考半角公式。

结论推广：$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ 是已知余弦值求正弦的桥梁。

方法推广：开方时先定符号：本题 $\alpha \in [0,\frac{\pi }{2}]$，$\sin \alpha \ge 0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-12 单-半角公式求值
• 1988-全国文-18 填-半角公式求值