1986-全国理-21 解-直线与抛物线综合

本题导读

本题考查直线与抛物线的位置关系、根与系数的关系（韦达定理）。核心在于联立方程设而不求法、参量函数分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 过点 $M(-1,0)$ 的直线 $L_1$ 与抛物线 $y^2=4x$ 交于 $P_1$、 $P_2$ 两点. 记：线段 $P_1{P}_2$ 的中点为 $P$；过点 $P$ 和这个抛物线的焦点 $F$ 的直线为 $L_2$； $L_1$ 的斜率为 $k$. 试把直线 $L_2$ 的斜率与直线 $L_1$ 的斜率之比表示为 $k$ 的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确立几何不变量与直线方程：
   • 抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F(1,0)$。
   • 直线 $L_1$ 过点 $M(-1,0)$ 且与抛物线相交于两点，其斜率 $k\ne 0$。设 $L_1$ 方程为 $y=k(x+1)$。
2. 联立方程求中点 $P$ 的坐标：
   • 将 $L_1$ 方程与抛物线方程联立，消去 $x$ 得到关于 $y$ 的一元二次方程。
   • 利用判别式 $\Delta >0$ 确定自变量 $k$ 的取值范围（定义域）。
   • 利用韦达定理求出 $y_1+y_2$，结合中点公式得到点 $P$ 的纵坐标 $y_0$，进而求出横坐标 $x_0$。
3. 构建目标函数：
   • 利用两点式斜率公式，求出两点 $P(x_0,y_0)$ 与 $F(1,0)$ 连线 $L_2$ 的斜率 $k_2$。
   • 建立比值函数 $f(k)=\frac{k_2}{k}$。
4. 分析函数性质：
   • 判定 $f(k)$ 的定义域。
   • 利用导数或基本初等函数的单调性，对 $f(k)$ 进行区间划分并判定其增减性。

✅【答案】

Success

$f(k)=\frac{1}{1-k^2}$，定义域 $(-1,0)\cup (0,1)$，在 $(-1,0)$ 上递减、在 $(0,1)$ 上递增

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：求定义域。 抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F(1,0)$。直线 $L_1$ 过 $M(-1,0)$ 且与抛物线有两个交点，其斜率 $k\ne 0$，设 $L_1$ 的方程为 $x=\frac{y}{k}-1$。 代入 $y^2=4x$，得 $y^2=4\left(\frac{y}{k}-1\right)$，即 $y^2-\frac{4}{k}y+4=0$。 由 $\Delta =\frac{16}{k^2}-16>0$ 得 $k^2<1$，结合 $k\ne 0$，得定义域为 $k\in (-1,0)\cup (0,1)$。

第二步：求中点 $P$ 的坐标。 设 $P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$，中点 $P(x_0,y_0)$。由韦达定理 $y_1+y_2=\frac{4}{k}$， 故 $y_0=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{2}{k}$，代入 $L_1$ 方程得 $x_0=\frac{y_0}{k}-1=\frac{2}{k^2}-1$。 所以 $P\left(\frac{2}{k^2}-1,\frac{2}{k}\right)$。

第三步：求斜率比 $f(k)$。 直线 $L_2$ 过 $P\left(\frac{2}{k^2}-1,\frac{2}{k}\right)$ 与 $F(1,0)$，其斜率 $k_2=\frac{\frac{2}{k}-0}{\left(\frac{2}{k^2}-1\right)-1}=\frac{\frac{2}{k}}{\frac{2}{k^2}-2}=\frac{2k}{2-2k^2}=\frac{k}{1-k^2}$。 于是 $f(k)=\frac{k_2}{k}=\frac{1}{1-k^2}$。

第四步：判定单调性。 对 $f(k)=(1-k^2{)}^{-1}$ 求导，$f^{\prime }(k)=\frac{2k}{(1-k^2{)}^2}$。因分母恒正，符号由 $2k$ 决定： 当 $k\in (-1,0)$ 时 $f^{\prime }(k)<0$，$f(k)$ 单调递减； 当 $k\in (0,1)$ 时 $f^{\prime }(k)>0$，$f(k)$ 单调递增。 综上，$f(k)=\frac{1}{1-k^2}$，定义域为 $(-1,0)\cup (0,1)$，在 $(-1,0)$ 上递减、在 $(0,1)$ 上递增。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 判别式约束：若漏掉直线与抛物线有两个交点（$\Delta >0$）这一前提，会把定义域误写成 $k\ne \pm 1$ 且 $k\ne 0$，导致单调区间范围扩大出错。
• 区间分段：$k=0$ 处函数无意义，单调区间必须分开写成 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$，不能跨越间断点合并。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于抛物线焦点弦与中点弦的经典模型，考查直线与圆锥曲线位置关系、韦达定理及函数单调性，是解析几何“设而不求”思想的典型应用。

2. 结论推广：对抛物线 $y^2=2px$，过 $M(-x_1,0)$（$x_1>0$）作斜率为 $k$ 的弦，弦中点 $P$ 的纵坐标恒为 $y_0=\frac{p}{k}$。

3. 方法推广：设而不求，用韦达定理求弦中点坐标，再结合焦点求斜率，最后用导数判断单调性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-20 单-抛物线焦点弦的射影
• 1986-上海文-35 解-抛物线与圆的交点
• 1986-上海理-19 单-抛物线焦点弦的射影
• 1990-全国文-10 单-抛物线的焦点与准线