1986-全国理-13 填-旋转体的体积

本题导读

本题考查旋转体的体积，以及直线方程与平面图形拼接。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 在 $xOy$ 平面上，四边形 $ABCD$ 的四个顶点坐标依次为 $(0,0)$、 $(1,0)$、 $(2,1)$ 及 $(0,3)$，求这个四边形绕 $x$ 轴旋转一周得到的几何体的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 重建平面图形及边界网格：
   • 设各顶点为 $A(0,0)$， $B(1,0)$， $C(2,1)$， $D(0,3)$。
   • 连结各点，确定四边形的边界直线方程：边 $AB$ 在 $x$ 轴上；边 $BC$ 连结 $(1,0)$ 与 $(2,1)$；边 $CD$ 连结 $(2,1)$ 与 $(0,3)$；边 $DA$ 在 $y$ 轴上。
2. 构建空间旋转体结构：
   • 该四边形处于第一象限及坐标轴边界。
   • 绕 $x$ 轴旋转时，体积可由上边界曲线 $DC$ 旋转所得几何体，减去下边界曲线 $BC$ 旋转所得几何体来计算。
3. 选择计算策略：
   • 方法一（几何体割补法）：根据特征点 $C(2,1)$ 作垂直于 $x$ 轴的割线，将整体结构拆分为标准圆柱、圆锥的体积组合。
   • 方法二（定积分法）：利用公式 $V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^2\mathrm{d}x$ 分段积分。

✅【答案】

Success

$\frac{25\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设顶点 $A(0,0)$、$B(1,0)$、$C(2,1)$、$D(0,3)$。 下边界 $BC$ 过 $(1,0)$、$(2,1)$，斜率 $k=\frac{1-0}{2-1}=1$，方程为 $y=x-1$（$1\le x\le 2$）。 上边界 $CD$ 过 $(2,1)$、$(0,3)$，斜率 $k=\frac{3-1}{0-2}=-1$，方程为 $y=-x+3$（$0\le x\le 2$）。 四边形绕 $x$ 轴旋转所得体积，用「大旋转体减空心」的 washer 法分段计算： $V=\pi {\int }_0^1(-x+3{)}^2\mathrm{d}x+\pi {\int }_1^2\left[(-x+3{)}^2-(x-1{)}^2\right]\mathrm{d}x$。 先算第一段：$\pi {\int }_0^1(-x+3{)}^2\mathrm{d}x=\pi {\left[-\frac{(-x+3{)}^3}{3}\right]}_0^1=\pi \cdot \frac{27-8}{3}=\frac{19}{3}\pi$。 再算第二段：$(-x+3{)}^2-(x-1{)}^2=(x^2-6x+9)-(x^2-2x+1)=-4x+8$， 故 $\pi {\int }_1^2(-4x+8)\mathrm{d}x=\pi {\left[-2x^2+8x\right]}_1^2=\pi [(-8+16)-(-2+8)]=\pi (8-6)=2\pi$。 所以 $V=\frac{19}{3}\pi +2\pi =\frac{25}{3}\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 边界分段：本题上边界 $CD$ 是整段 $y=-x+3$，但下边界在 $[0,1]$ 是 $x$ 轴、在 $[1,2]$ 是 $BC:y=x-1$，必须分段处理，不能整段套用同一公式。
• washer 法：绕 $x$ 轴旋转时，某处截面是「大圆减空心圆」，被积函数为 $[f_{\text{上}}(x){]}^2-[f_{\text{下}}(x){]}^2$，符号和顺序不能颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教版必修2”旋转体体积”与定积分几何应用，考查曲边梯形绕轴旋转的”垫片法（washer）“，是高考立体几何与微积分初步的经典衔接题。

2. 结论推广：平面区域绕 $x$ 轴旋转所得体积 $V=\pi {\int }_a^b\left([f_{\text{上}}(x){]}^2-[f_{\text{下}}(x){]}^2\right)\mathrm{d}x$。

3. 方法推广：不规则四边形旋转先写出各边界的直线方程，再按边界交点分段积分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-13 填-旋转体的体积
• 1988-全国文-19 填-旋转体的体积