1986-全国理-11 填-指数方程

本题导读

本题考查指数方程求解，以及分数指数幂与根式的互化。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 求方程 $\sqrt{25^{(x^2+x-0.5)}}=\sqrt[4]{5}$ 的解.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一底数空间：
   • 观察方程左端项基数为 $25$，可化为 $5^2$；外层开平方根可化为 $\frac{1}{2}$ 次幂。
   • 观察方程右端项为 $5$ 的四次方根，可化为 $5^{\frac{1}{4}}$。
2. 构建等指数方程：
   • 运用幂的乘方法则 $(a^m{)}^n=a^{mn}$ 化简左端项，使其成为以 $5$ 为底的单一指数形式。
   • 令两侧的指数部分相等，得到关于自变量 $x$ 的一元二次方程。
3. 求解一元二次方程：
   • 整理二次多项式并求根。

✅【答案】

Success

$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由分数指数幂与根式的互化 $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$，得 左端 $\sqrt{25^{x^2+x-0.5}}=(25^{x^2+x-0.5}{)}^{\frac{1}{2}}=(5^2{)}^{x^2+x-0.5\cdot \frac{1}{2}}=5^{x^2+x-0.5}$， 右端 $\sqrt[4]{5}=5^{\frac{1}{4}}$。 于是 $5^{x^2+x-0.5}=5^{\frac{1}{4}}$，同底数（$5\ne 1$）幂相等，指数必相等： $x^2+x-0.5=\frac{1}{4}$，即 $x^2+x-\frac{3}{4}=0$。 两边同乘 $4$ 得 $4x^2+4x-3=0$，因式分解为 $(2x-1)(2x+3)=0$。 解得 $x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 根式化幂：$\sqrt{25^A}=(5^2{)}^{A/2}=5^A$，外层算术平方根（$\frac{1}{2}$ 次）与底数 $25=5^2$ 的指数 $2$ 恰好抵消，不要误算成 $5^{2A}$。
• 同底相等：$a^{f(x)}=a^{g(x)}$（$a>0,a\ne 1$）等价于 $f(x)=g(x)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于指数幂运算与根式互化的基本性质，考查同底数幂相等则指数相等的转化思想，是指数方程入门的典型题。

2. 结论推广：$\sqrt[n]{a^{f(x)}}=\sqrt[m]{a}$（$a>0,a\ne 1$）等价于 $f(x)=\frac{n}{m}$。

3. 方法推广：解指数方程先统一底数，再令指数相等转化为代数方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-11 填-指数方程
• 1986-广东文-01 单-指数方程的解集
• 1987-广东文-04 单-指数方程