1986-全国文-17 解-面面垂直的证明

本题导读

本题考查平面与平面垂直的证明。核心在于先证线面垂直。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(文)） 如图，$AB$ 是圆 $O$ 的直径，$PA$ 垂直于圆 $O$ 所在的平面，$C$ 是圆周上不同于 $A$、$B$ 的任一点，求证：平面 $PAC$ 垂直于平面 $PBC$.

🔍【思路分析】

破题导航

$PA\perp$ 底面得 $PA\perp BC$；直径所对圆周角得 $AC\perp BC$；故 $BC\perp$ 平面 $PAC$。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

设圆 $O$ 所在平面为 $\alpha$。由 $PA\perp \alpha$，$BC\subset \alpha$，得 $PA\perp BC$。又 $AB$ 是直径，$C$ 在圆周上，故 $\angle ACB=90^{\circ }$，即 $AC\perp BC$。$PA$ 与 $AC$ 是平面 $PAC$ 内相交于 $A$ 的两条直线，故 $BC\perp$ 平面 $PAC$。又 $BC\subset$ 平面 $PBC$，由面面垂直的判定定理，平面 $PAC\perp$ 平面 $PBC$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直的证明

核心方法：$BC\perp PA$（$PA\perp$ 底面）且 $BC\perp AC$（直径圆周角），线面垂直再面面垂直。

避坑指南：$BC\perp$ 平面 $PAC$，$BC\subset$ 平面 $PBC$，故平面 $PBC\perp$ 平面 $PAC$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面垂直与面面垂直。

结论推广：直径所对圆周角为直角。

方法推广：线线垂直链。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-22 解-线面垂直与向量夹角
• 1990-广东理-31 解-线面垂直与二面角
• 1988-广东理-06 单-异面直线的性质