1986-上海理-32 解-幂均值不等式

本题导读

本题考查幂均值型不等式的证明，核心在于作差配方。

📌【题干】

Question

（1986年上海卷(理)） 设 $x>0$，$y>0$.证明不等式 $(x^2+y^2{)}^{\frac{1}{2}}>(x^3+y^3{)}^{\frac{1}{3}}$.

🔍【思路分析】

破题导航

两端同乘 $6$ 次方，比较 $(x^2+y^2{)}^3$ 与 $(x^3+y^3{)}^2$。

✅【答案】

Success

见解析

✍【详细解析】

Abstract

两端均为正，等价于证 $(x^2+y^2{)}^3>(x^3+y^3{)}^2$。$(x^2+y^2{)}^3-(x^3+y^3{)}^2=3x^4{y}^2+3x^2{y}^4-2x^3{y}^3=x^2{y}^2(3x^2-2xy+3y^2)=x^2{y}^2[3(x-\frac{y}{3}{)}^2+\frac{8}{3}{y}^2]>0$。故 $(x^2+y^2{)}^3>(x^3+y^3{)}^2$，两端开 $6$ 次方得 $(x^2+y^2{)}^{\frac{1}{2}}>(x^3+y^3{)}^{\frac{1}{3}}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：幂均值不等式

核心方法：比较六次方：$(x^2+y^2{)}^3-(x^3+y^3{)}^2=x^2{y}^2[3(x-\frac{y}{3}{)}^2+\frac{8}{3}{y}^2]>0$。

避坑指南：亦可用幂平均或 WLOG 因式分解，两端开 6 次方。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：幂平均链。

结论推广：$M_r$ 随 $r$ 增。

方法推广：作差配方法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 1987-广东理-28 填-均值不等式
• 2011-陕西卷文-03 单-均值不等式链排序