1986-上海理-30 填-直线参数方程

本题导读

本题考查参数方程化普通方程及直线在 $y$ 轴上的截距。

📌【题干】

Question

（1986年上海卷(理)） 若直线的参数方程是 $x=3+\frac{4}{5}t$，$y=-2+\frac{3}{5}t$（$t$ 为参数），则过点 $(4,-1)$ 且与其平行的直线在 $y$ 轴上的截距是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

方向向量 $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$，斜率 $\frac{3}{4}$，过 $(4,-1)$ 写点斜式。

✅【答案】

Success

$-4$

✍【详细解析】

Abstract

由参数方程消去 $t$ 得 $y+2=\frac{3}{4}(x-3)$，斜率 $k=\frac{3}{5}/\frac{4}{5}=\frac{3}{4}$。过 $(4,-1)$ 的平行线 $y+1=\frac{3}{4}(x-4)$，令 $x=0$，$y=-1-\frac{3}{4}\cdot 4=-4$。故截距 $-4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线参数方程

核心方法：参数方程方向向量为 $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$，即斜率 $\frac{3}{4}$。

避坑指南：过 $(4,-1)$：$y+1=\frac{3}{4}(x-4)$，$x=0$ 时 $y=-1-3=-4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程化普通方程。

结论推广：方向由系数定。

方法推广：截距代入 $x=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 1987-上海-09 填-参数方程与普通方程
• 1988-上海-04 填-参数方程化普通方程