1986-上海理-19 单-抛物线焦点弦的射影

本题导读

本题考查抛物线的焦点弦与其在准线上射影的几何性质。

📌【题干】

Question

（1986年上海卷(理)） 过抛物线焦点 $F$ 的直线与抛物线相交于 $A$，$B$ 两点，若 $A$，$B$ 在抛物线准线上的射影分别是 $A_1$，$B_1$，则 $\angle A_{1}F{B}_1$ 等于 ()

A. $45^{\circ }$　　　　　　B. $60^{\circ }$　　　　　　C. $90^{\circ }$　　　　　　D. $120^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

由 $y_1{y}_2=-p^2$ 及 $F$、$A_1$、$B_1$ 的坐标构造向量内积。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=2px$，$F(\frac{p}{2},0)$，准线 $x=-\frac{p}{2}$。$A_1(-\frac{p}{2},y_1)$，$B_1(-\frac{p}{2},y_2)$。$\overrightarrow{F{A}_1}=(-p,y_1)$，$\overrightarrow{F{B}_1}=(-p,y_2)$，内积 $=p^2+y_1{y}_2=p^2-p^2=0$，故 $\angle A_{1}F{B}_1=90^{\circ }$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦点弦的射影

核心方法：$A_{1}F\perp B_{1}F$：由焦点弦性质 $y_1{y}_2=-p^2$ 与射影构造证明。

避坑指南：$\angle A_{1}F{B}_1=90^{\circ }$，选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：焦点弦与准线。

结论推广：射影点与焦点连线互相垂直。

方法推广：用 $y_1{y}_2=-p^2$ 构造。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-33 解-抛物线的焦点弦
• 1989-广东文-25 单-抛物线的焦点弦
• 1990-全国文-10 单-抛物线的焦点与准线