1986-上海理-15 单-对数函数的奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性判断。

📌【题干】

Question

（1986年上海卷(理)） 函数 $y=\lg \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$（$x\in \mathbf{R}$） ()

A. 是奇函数，不是偶函数　　　　　　　B. 是偶函数，不是奇函数

C. 既不是奇函数，又不是偶函数　　　　D. 既是奇函数又是偶函数

🔍【思路分析】

破题导航

$f(-x)$ 与 $f(x)$：共轭根式之积为 1。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$f(-x)=\lg (-x+\sqrt{x^2+1})$，而 $(-x+\sqrt{x^2+1})(x+\sqrt{x^2+1})=1$，故 $f(-x)=\lg \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}=-f(x)$，为奇函数。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数的奇偶性

核心方法：$f(-x)=\lg (-x+\sqrt{x^2+1})=-\lg (x+\sqrt{x^2+1})=-f(x)$。

避坑指南：共轭根式乘积为 1，奇函数，选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数奇函数经典式。

结论推广：$\lg (x+\sqrt{x^2+1})$ 为奇函数。

方法推广：共轭根式积为 1。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1988-上海-13 单-函数的奇偶性
• 1989-上海-16 单-奇函数的判断
• 1987-广东理-23 单-函数的奇偶性