1985-广东理-34 解-椭圆与抛物线的参数方程

本题导读

本题考查圆锥曲线参数方程与普通方程的互化，及交点与焦点准线的关系。核心在于参数方程化普通方程后的联立分析。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(理)） 在直角坐标系中，有椭圆 I 和抛物线 II，它们的参数方程分别是 I：$\{\begin{array}{l}x=m+2\cos \varphi ,\\ y=\sqrt{3}\sin \varphi \end{array}$（$m$ 是常数，$\varphi$ 是参数）；II：$\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+t^2,\\ y=\sqrt{6}t\end{array}$（$t$ 是参数）.

(1)求证：当 $m=4$ 时，椭圆 I 有一个焦点和一条准线分别与抛物线 II 的焦点和准线重合.

(2)求证：当且仅当 $m\in [-\frac{1}{2},\frac{7}{2}]$ 时，椭圆 I 与抛物线 II 有交点.

(3)在区间 $[-\frac{1}{2},\frac{7}{2}]$ 中有哪些 $m$ 值，使得椭圆 I 和抛物线 II 的交点与坐标原点的距离等于这个交点与椭圆 I 的中心的距离？

🔍【思路分析】

破题导航

椭圆 I 化为 $\frac{(x-m{)}^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，抛物线 II 化为 $y^2=6(x-\frac{3}{2})$。

✅【答案】

Success

(1) (2) 证明见解析

(3) $m=0$ 或 $m=8(\sqrt{2}-1)$

✍【详细解析】

Abstract

(1)椭圆 I 化普通方程 $\frac{(x-m{)}^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，抛物线 II 化 $y^2=6(x-\frac{3}{2})$。当 $m=4$ 时，椭圆中心 $(4,0)$，$a=2$，$b=\sqrt{3}$，$c=\sqrt{a^2-b^2}=1$，焦点 $(5,0)$、$(3,0)$，准线 $x=4\pm \frac{a^2}{c}=8$ 和 $0$。抛物线 $y^2=6(x-\frac{3}{2})$ 顶点 $(\frac{3}{2},0)$，开口向右，$\frac{p}{2}=\frac{3}{2}$，焦点 $(\frac{3}{2}+\frac{p}{2},0)=(3,0)$，准线 $x=\frac{3}{2}-\frac{p}{2}=0$。故椭圆左焦点 $(3,0)$、左准线 $x=0$ 分别与抛物线焦点、准线重合。 (2)联立 $\frac{(x-m{)}^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 与 $y^2=6(x-\frac{3}{2})$，代入消去 $y$ 整理得 $x^2+(8-2m)x+m^2-16=0$。因 $x-\frac{3}{2}=\frac{y^2}{6}\ge 0$，故有交点当且仅当该方程有不小于 $\frac{3}{2}$ 的实根。两根为 $x_{1,2}=-(4-m)\pm 2\sqrt{2(4-m)}$，有实根需 $4-m\ge 0$，且 $x_1=-(4-m)+2\sqrt{2(4-m)}\ge \frac{3}{2}$。解得 $-\frac{1}{2}\le m\le \frac{7}{2}$。 (3)交点 $(x,y)$ 满足 $x^2+y^2=(x-m{)}^2+y^2$，即 $m(m-2x)=0$。交点横坐标 $x=(m-4)+2\sqrt{2(4-m)}$，代入得 $m[8-m-4\sqrt{2(4-m)}]=0$。由 $m=0$ 得 $m_1=0$；由 $8-m-4\sqrt{2(4-m)}=0$ 解得 $m_2=8(\sqrt{2}-1)$（$m_3=-8(\sqrt{2}+1)$ 舍去）。故 $m=0$ 或 $8(\sqrt{2}-1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与抛物线的参数方程

核心方法：参数方程化为普通方程联立

避坑指南：交点存在性转化为二次方程有特定实根

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线参数方程的应用

结论推广：椭圆与抛物线的交点与焦点准线重合

方法推广：参数方程化普通方程联立

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 1985-上海理-16 解-参数方程与极坐标
• 1986-广东理-15 单-椭圆与抛物线的交点