1985-广东文-28 解-椭圆与直线的位置关系

本题导读

本题考查椭圆与直线的位置关系、弦长及轨迹方程。核心在于联立消元求交点与抛物线定义的应用。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(文)） 已知椭圆 $C$ 和直线 $l$ 的直角坐标方程分别为 $C:x^2+2y^2-8=0$，$l:y=x-2$.

(1)证明椭圆 $C$ 的一个焦点和短轴的一个端点落在直线 $l$ 上.

(2)求直线 $l$ 被椭圆 $C$ 所截得线段的长度.

(3)如果动点 $P$ 至坐标原点的距离与点 $P$ 至直线 $l$ 的距离相等，那么动点 $P$ 的轨迹是什么曲线？请推导出它的方程.

🔍【思路分析】

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(1)化为标准方程定焦点与端点坐标后代入直线；(2)联立消元求交点用距离公式；(3)到定点与定直线等距为抛物线。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $\frac{8\sqrt{2}}{3}$

(3) 轨迹为抛物线，方程 $x^2+y^2+2xy+4x-4y-4=0$

✍【详细解析】

Abstract

(1)椭圆 $C$ 化为 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，$a^2=8$、$b^2=4$，$c=\sqrt{8-4}=2$。焦点 $(\pm 2,0)$，短轴端点 $(0,\pm 2)$。当 $x=2$ 时 $y=0$，点 $(2,0)$ 在 $l$ 上；当 $x=0$ 时 $y=-2$，点 $(0,-2)$ 在 $l$ 上。故焦点 $(2,0)$ 与短轴端点 $(0,-2)$ 都在直线 $l$ 上。 (2)联立 $x^2+2y^2-8=0$ 与 $y=x-2$，消去 $y$ 得 $x^2+2(x-2{)}^2-8=0$，即 $3x^2-8x=0$，解得 $x_1=0$、$x_2=\frac{8}{3}$，从而 $y_1=-2$、$y_2=\frac{2}{3}$。交点为 $(0,-2)$ 与 $(\frac{8}{3},\frac{2}{3})$，线段长 $=\sqrt{(\frac{8}{3}-0{)}^2+(\frac{2}{3}+2{)}^2}=\sqrt{\frac{64}{9}+\frac{64}{9}}=\frac{8\sqrt{2}}{3}$。 (3)设 $P(x,y)$，依题意 $\sqrt{x^2+y^2}=\frac{|y-x+2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}$。两边平方：$x^2+y^2=\frac{1}{2}(y^2+x^2+4-2xy+4y-4x)$，整理得 $x^2+y^2+2xy+4x-4y-4=0$。到定点（原点）与定直线 $l$ 等距的轨迹是抛物线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与直线的位置关系

核心方法：联立方程组与距离条件

避坑指南：截线段长用弦长公式；轨迹为抛物线（到点与到直线等距）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与椭圆的综合

结论推广：到定点与定直线等距的轨迹为抛物线

方法推广：抛物线定义的应用

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1985-上海文-21 解-抛物线与定比轨迹
• 1986-广东理-15 单-椭圆与抛物线的交点