1985-全国理-18 解-切线与截距最值

本题导读

本题考查切线方程与最值的综合。核心在于写出截距关于切点横坐标的函数，再求导判定最值。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(理)） 已知曲线 $y=x^3-6x^2+11x-6$．在它对应于 $x\in [0,2]$ 的弧段上求一点 $P$，使得曲线在该点的切线在 $y$ 轴上的截距最小，并求出这个最小值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设切点 $P(t,f(t))$（$t\in [0,2]$），由导数求切线斜率。
2. 用点斜式写出切线方程，令 $x=0$ 得截距 $g(t)$。
3. 对 $g(t)$ 求导，判定 $[0,2]$ 上的单调性，求最小值。

✅【答案】

Success

$P(0,-6)$，最小截距为 $-6$

✍【详细解析】

Abstract

设 $P(t,t^3-6t^2+11t-6)$（$t\in [0,2]$）。 求导得 $y^{\prime }=3x^2-12x+11$，故 $P$ 处切线斜率 $k=3t^2-12t+11$。 切线方程为 $y-(t^3-6t^2+11t-6)=(3t^2-12t+11)(x-t)$。 令 $x=0$，得 $y$ 轴截距 $g(t)=-t(3t^2-12t+11)+(t^3-6t^2+11t-6)=-2t^3+6t^2-6$。 求导 $g^{\prime }(t)=-6t^2+12t=-6t(t-2)$。 当 $t\in (0,2)$ 时 $g^{\prime }(t)>0$，故 $g(t)$ 在 $[0,2]$ 上单调递增，在 $t=0$ 处取最小值 $g(0)=-6$。 此时 $P(0,f(0))=(0,-6)$。 故所求点为 $P(0,-6)$，切线在 $y$ 轴上的截距最小值为 $-6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 对截距函数求导：最值对象是截距 $g(t)$，须对 $g(t)$ 求导，而非对原曲线或斜率求导。
• 端点最值：$g^{\prime }(t)$ 在开区间恒正时，最小值在左端点 $t=0$ 取得，勿遗漏端点检验。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于1985年全国卷，考查三次函数切线截距的最值，背景是导数几何意义与函数单调性的综合，体现”以算代证”的通性通法。

2. 结论推广：三次曲线 $y=x^3+p{x}^2+qx+r$ 在点 $t$ 处切线在 $y$ 轴上的截距为 $g(t)=-2t^3-p{t}^2+r$，其极值点位置只由二次项系数 $p$ 决定，与一次项系数 $q$ 无关。

3. 方法推广：切线的截距、切点坐标等几何量的最值，统一写成切点横坐标 $t$ 的函数后求导判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-23 解-导数与切线综合