1985-全国理-16 解-数列不等式与极限

本题导读

本题考查数列不等式的放缩证明与数列极限的 $\epsilon$-$N$ 定义证明。核心在于用 $\sqrt{k(k+1)}$ 的上下界放缩求和。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(理)） 设 $a_n=\sqrt{1\cdot 2}+\sqrt{2\cdot 3}+\cdots +\sqrt{n(n+1)}$（$n=1,2,\dots$）．

(1) 证明：不等式 $\frac{n(n+1)}{2}<a_n<\frac{(n+1{)}^2}{2}$ 对所有的正整数 $n$ 都成立；

(2) 设 $b_n=\frac{a_n}{n(n+1)}$（$n=1,2,\dots$），用定义证明：${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=\frac{1}{2}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：用 $k<\sqrt{k(k+1)}<k+\frac{1}{2}$ 对通项放缩，再求和。
2. 第 (2) 问：把第 (1) 问结论同除以 $n(n+1)$，得到 $\left|b_n-\frac{1}{2}\right|<\frac{1}{2n}$，再用 $\epsilon$-$N$ 定义论证。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 对任意正整数 $k$，有 $\sqrt{k(k+1)}>\sqrt{k^2}=k$， 且由均值不等式，$\sqrt{k(k+1)}<\frac{k+(k+1)}{2}=k+\frac{1}{2}$。 故 $k<\sqrt{k(k+1)}<k+\frac{1}{2}$。 令 $k=1,2,\dots ,n$ 相加，得 ${\sum }_{k=1}^{n}k<a_n<{\sum }_{k=1}^n\left(k+\frac{1}{2}\right)$， 即 $\frac{n(n+1)}{2}<a_n<\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n}{2}=\frac{n^2+2n}{2}<\frac{(n+1{)}^2}{2}$。 故 $\frac{n(n+1)}{2}<a_n<\frac{(n+1{)}^2}{2}$ 对一切正整数 $n$ 成立。

(2) 由 (1)，同除以 $n(n+1)$ 得 $\frac{1}{2}<\frac{a_n}{n(n+1)}<\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}$， 即 $\frac{1}{2}<b_n<\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}$，故 $0<b_n-\frac{1}{2}<\frac{1}{2n}$，从而 $\left|b_n-\frac{1}{2}\right|<\frac{1}{2n}$。 任给 $\epsilon >0$，取 $N=\left[\frac{1}{2\epsilon }\right]$，则当 $n>N$ 时，$\left|b_n-\frac{1}{2}\right|<\frac{1}{2n}<\epsilon$。 由数列极限的定义，${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 两端放缩：$\sqrt{k(k+1)}$ 的下界用 $k$，上界用均值不等式 $k+\frac{1}{2}$，求和后自然夹出 $\frac{n(n+1)}{2}$ 与 $\frac{(n+1{)}^2}{2}$。
• $\epsilon$-$N$ 闭环：第 (2) 问须严格写出”任给 $\epsilon >0$，取 $N$，当 $n>N$ 时……”的完整逻辑链，不能直接套夹逼定理。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于1985年全国卷，考查数列求和与放缩法。通项 $\sqrt{k(k+1)}$ 介于 $k$ 与 $k+\frac{1}{2}$ 之间，本质是均值不等式与裂项求和思想，为后续极限定义作铺垫。

2. 结论推广：对 $a_n={\sum }_{k=1}^n\sqrt{k(k+1)}$，有 $\frac{n(n+1)}{2}<a_n<\frac{(n+1{)}^2}{2}$，从而 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{n(n+1)}=\frac{1}{2}$。

3. 方法推广：求和式夹逼，先对通项两端放缩为可求和的形式，再对和式取极限。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.05 数列放缩法路径选择与常用模型
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-38 解-数列与数学归纳法
• 1989-全国文-22 解-数学归纳法证明