1985-全国理-15 解-轨迹方程

本题导读

本题考查动点轨迹方程的求解。核心在于把滑动线段两端点参数化，再用三点共线消去参数。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(理)） 已知两点 $P(-2,2)$，$Q(0,2)$ 以及一条直线 $L:y=x$，设长为 $\sqrt{2}$ 的线段 $AB$ 在直线 $L$ 上移动，如图，求直线 $PA$ 和 $QB$ 的交点 $M$ 的轨迹方程．（要求把结果写成普通方程）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $A(t,t)$，由 $|AB|=\sqrt{2}$ 且 $L$ 的倾斜角为 $45^{\circ }$，得 $B(t+1,t+1)$。
2. 设交点 $M(x,y)$，由 $P,A,M$ 共线与 $Q,B,M$ 共线各列一个斜率等式。
3. 消去参数 $t$ 得轨迹的普通方程。

✅【答案】

Success

$x^2-y^2+2x-2y+8=0$

✍【详细解析】

Abstract

设 $A(t,t)$。因 $L$ 的倾斜角为 $45^{\circ }$，且 $|AB|=\sqrt{2}$，故 $B(t+1,t+1)$。 设交点 $M(x,y)$。 由 $P,A,M$ 三点共线：$\frac{y-2}{x+2}=\frac{t-2}{t+2}$，即 $(y-2)(t+2)=(x+2)(t-2)$，整理得 $(x-y+4)t=2x+2y$。① 由 $Q,B,M$ 三点共线：$\frac{y-2}{x}=\frac{t-1}{t+1}$，即 $(y-2)(t+1)=x(t-1)$，整理得 $(x-y+2)t=x+y-2$。② 由 ①、② 消去 $t$（两式相除，约去 $t$）： $\frac{x-y+4}{x-y+2}=\frac{2x+2y}{x+y-2}$。 交叉相乘：$(x-y+4)(x+y-2)=2(x+y)(x-y+2)$。 左端 $=(x^2-y^2)-2(x-y)+4(x+y)-8=x^2-y^2+2x+6y-8$； 右端 $=2(x^2-y^2)+4(x+y)=2x^2-2y^2+4x+4y$。 移项合并得 $x^2-y^2+2x-2y+8=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 单参数化滑动线段：定长线段在已知斜率直线上滑动，自由度恒为 1，设一个端点横坐标 $t$ 即可确定两端点。
• 三点共线用斜率：$P,A,M$ 与 $Q,B,M$ 共线分别写斜率相等，交叉相乘后消 $t$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于解析几何中”动点定长滑动”模型，考查参数法求轨迹，是圆锥曲线与直线位置关系的综合应用，体现坐标法思想。

2. 结论推广：滑动线段端点与两定点连线交点的轨迹是一条二次曲线（本题为双曲线）。

3. 方法推广：求两条动直线交点的轨迹，先参数化动点，再列两条共线方程消去参数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-19 解-相关点法求轨迹