1985-全国理-13 解-二面角与线面角

本题导读

本题考查二面角平面角、线面角的综合求解。核心在于三垂线定理构建辅助线，并用公共垂线段 $PH$ 消元。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(理)） 如图，设平面 $AC$ 和平面 $BD$ 相交于 $BC$，它们所成的一个二面角为 $45^{\circ }$，$P$ 为平面 $AC$ 内的一点，$Q$ 为平面 $BD$ 内的一点．已知直线 $MQ$ 是直线 $PQ$ 在平面 $BD$ 内的射影，并且 $M$ 在 $BC$ 上．又设 $PQ$ 与平面 $BD$ 所成的角为 $\beta$，$\angle CMQ=\theta$（$0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$），线段 $PM$ 的长为 $a$，求线段 $PQ$ 的长．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 过 $P$ 作平面 $BD$ 的垂线，垂足 $H$ 必在 $MQ$ 上，得 $\angle PQH=\beta$。
2. 过 $H$ 作 $HE\perp BC$，由三垂线定理得 $\angle PEH=45^{\circ }$ 为二面角平面角。
3. 在 $△PEH$、$△HEM$、$△PHM$、$△PQH$ 四个直角三角形间用公共边 $PH$ 消元。

✅【答案】

Success

$PQ=\frac{a\sin \theta }{\sin \beta \sqrt{1+{\sin }^2\theta }}$

✍【详细解析】

Abstract

过点 $P$ 作平面 $BD$ 的垂线，垂足为 $H$。因 $MQ$ 是 $PQ$ 在平面 $BD$ 内的射影，故 $H$ 在 $MQ$ 上；连接 $PH$。 过 $H$ 作 $HE\perp BC$ 于 $E$，连接 $PE$。 因 $PH\perp$ 平面 $BD$，$BC\subset$ 平面 $BD$，故 $PH\perp BC$；又 $HE\perp BC$，$PH\cap HE=H$，故 $BC\perp$ 平面 $PHE$，于是 $BC\perp PE$。 所以 $\angle PEH$ 是二面角 $A-BC-B$ 的平面角，即 $\angle PEH=45^{\circ }$。 在直角 $△PEH$ 中，$PH=PE\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}PE$，$HE=PE\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}PE$，故 $PH=HE$。 在直角 $△HEM$ 中，$HE=HM\sin \theta$，结合 $PH=HE$ 得 $PH=HM\sin \theta$，即 $HM=\frac{PH}{\sin \theta }$。 在直角 $△PHM$ 中，$P{M}^2=P{H}^2+H{M}^2$，代入 $HM$ 及 $PM=a$： $a^2=P{H}^2+{\left(\frac{PH}{\sin \theta }\right)}^2=P{H}^2\left(1+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\right)$，故 $P{H}^2=\frac{a^2{\sin }^2\theta }{1+{\sin }^2\theta }$。 在直角 $△PQH$ 中，$\angle PQH=\beta$，故 $PQ=\frac{PH}{\sin \beta }$。 于是 $P{Q}^2=\frac{P{H}^2}{{\sin }^2\beta }=\frac{a^2{\sin }^2\theta }{{\sin }^2\beta (1+{\sin }^2\theta )}$。 所以 $PQ=\frac{a\sin \theta }{\sin \beta \sqrt{1+{\sin }^2\theta }}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 三垂线定理定平面角：过线面垂线的垂足作交线的垂线，可把二面角平面角”搬”到合适位置（本题得 $\angle PEH=45^{\circ }$）。
• 公共边消元：多个直角三角形共边 $PH$，用 $PH$ 作”桥梁”串联 $PM$、$HM$、$HE$、$PE$，最终反解 $PQ$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于二面角与线面角交汇的经典模型，考查垂面法作平面角、三垂线定理及射影转化，是”作高—找射影”通法的典型载体。

2. 结论推广：设二面角为 $\alpha$，则 $PH=HM\sin \theta \tan \alpha$，代入可得 $PQ=\frac{a\sin \theta \tan \alpha }{\sin \beta \sqrt{{\sin }^2\theta {\tan }^2\alpha +1}}$；本题 $\alpha =45^{\circ }$ 即 $\tan \alpha =1$。

3. 方法推广：立体几何求线段长，先”作高—找射影—连辅助线”，再在层层直角三角形中用公共边消元。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-15 解-三棱锥二面角与内切圆
• 1986-上海理-35 解-折叠与二面角