1985-全国理-12 解-无理不等式的解法

本题导读

本题考查无理不等式的解法。核心在于按右边符号分域讨论。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(理)） 解不等式：$\sqrt{2x+5}>x+1$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由根式有意义得 $2x+5\ge 0$。
2. 分 $x+1<0$（右边为负，不等式恒成立）与 $x+1\ge 0$（两边平方）两种情况讨论。

✅【答案】

Success

解集为 $\left[-\frac{5}{2},2\right)$

✍【详细解析】

Abstract

由根式有意义，$2x+5\ge 0$，得 $x\ge -\frac{5}{2}$。 当 $-\frac{5}{2}\le x<-1$ 时，$x+1<0$，而 $\sqrt{2x+5}\ge 0$，不等式恒成立，得 $\left[-\frac{5}{2},-1\right)$。 当 $x\ge -1$ 时，两边均非负，可平方：$2x+5>(x+1{)}^2$，即 $x^2<4$，解得 $-2<x<2$，与 $x\ge -1$ 取交得 $[-1,2)$。 综上，原不等式的解集为 $\left[-\frac{5}{2},2\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 分域平方：$\sqrt{f}>g$ 型，先写 $f\ge 0$；再分 $g<0$（恒成立）与 $g\ge 0$（可平方）两段。
• 端点开闭：$x=-1$ 时 $x+1=0$，$\sqrt{3}>0$ 成立，故 $x=-1$ 含于解集；$x=2$ 时两边相等，不合，取开。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于二次函数与根式不等式的交汇，考查分类讨论思想；本质是$y=\sqrt{2x+5}$与$y=x+1$图像位置关系，属不等式与函数图象结合的经典模型。

2. 结论推广：$\sqrt{f}>g$ 型无理不等式，等价于 $\{g<0,f\ge 0\}$ 与 $\{g\ge 0,f>g^2\}$ 的并集。

3. 方法推广：分段讨论后取并集，端点开闭逐一核对。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-26 填-无理不等式
• 1989-广东理-17 单-无理不等式的解集