1985-全国理-01 单-正方体内四面体的体积

本题导读

本题考查正方体内截四面体的体积，以及等体积法（换底法）的运用。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(理)） 如果正方体 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 的棱长为 $a$，那么四面体 $A^{\prime }-ABD$ 的体积是 ()

A. $\frac{a^3}{2}$　　B. $\frac{a^3}{3}$　　C. $\frac{a^3}{4}$　　D. $\frac{a^3}{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 四面体 $A^{\prime }-ABD$ 的底面 $△ABD$ 在正方体的底面内，顶点 $A^{\prime }$ 在正方体的一条侧棱上。
2. 侧棱 $A{A}^{\prime }$ 垂直于底面 $ABCD$，故 $A{A}^{\prime }$ 即三棱锥的高。
3. 由 $△ABD$ 是正方形底面的一半，结合锥体体积公式 $V=\frac{1}{3}S\cdot h$ 直接求解。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D 【解析过程】 $△ABD$ 是正方形底面 $ABCD$ 的一半，其面积 $S=\frac{1}{2}{a}^2$；顶点 $A^{\prime }$ 到底面 $△ABD$ 的距离即侧棱长 $a$。由三棱锥体积公式： $V=\frac{1}{3}S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{a}^2\cdot a=\frac{a^3}{6}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 换底法：三棱锥体积 $V=\frac{1}{3}S\cdot h$ 中底面与高可任意选取，应选正方体的”直角面”为底，使侧棱直接充当高，避免复杂计算。
• 识别直角结构：$△ABD$ 是以正方形两邻边为直角边的直角三角形，面积直接由 $\frac{1}{2}{a}^2$ 求得。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于正方体的基本结构，考查棱锥体积公式与空间想象；四面体 $A^{\prime }-ABD$ 是以正方体一个顶点为顶点、底面为相对面三角形截得的”角锥”，是教材中割补法求体积的经典模型。

2. 结论推广：正方体内截出的四面体 $A^{\prime }-ABD$ 的体积恒为正方体体积的 $\frac{1}{6}$。

3. 方法推广：在正方体或长方体内求三棱锥体积，优先用等体积法把底面”逼到”直角面上，使侧棱坍缩为标准高。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.07 四面体的性质
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-23 单-正方体顶点构成四面体的计数
• 1986-全国文-07 单-正方体的全面积