1985-全国文-14 解-无理不等式的解法

本题导读

本题考查无理不等式的解法。核心在于按右边符号分域讨论。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(文)） 解不等式：$\sqrt{2x+5}>x+1$.

🔍【思路分析】

破题导航

$x<-1$ 时右边为负直接成立；$x\ge -1$ 时两边平方。

✅【答案】

Success

解集为 $\left[-\frac{5}{2},2\right)$

✍【详细解析】

Abstract

首先由根式有意义得 $2x+5\ge 0$，即 $x\ge -\frac{5}{2}$。当 $-\frac{5}{2}\le x<-1$ 时，$x+1<0$，而 $\sqrt{2x+5}\ge 0$，所以不等式成立，得到 $[-\frac{5}{2},-1)$。当 $x\ge -1$ 时，两边均为非负数，可以平方，得 $2x+5>(x+1{)}^2⟺x^2<4⟺-2<x<2$。与 $x\ge -1$ 合并，得到 $[-1,2)$。综上，原不等式的解集为 $[-\frac{5}{2},2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：无理不等式的解法

核心方法：$x<-1$ 时右负直接成立；$x\ge -1$ 时平方。

避坑指南：解集 $[-\frac{5}{2},2)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1986 上海文第 26 题同考无理不等式。

结论推广：$\sqrt{f}>g$ 分 $g<0$（恒成立）与 $g\ge 0$（平方）两段。

方法推广：分段讨论后取并集，端点开闭要核对。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-26 填-无理不等式
• 1989-广东理-17 单-无理不等式的解集