1985-上海理-22 解-二面角与等差数列

本题导读

本题考查二面角与等差、等比数列的交汇。核心在于用体积法建立 $h_i\sin {\alpha }_i$ 相等的关系。

📌【题干】

Question

（1985年上海卷(理)） 在三棱锥 $P-ABC$ 中，顶点 $P$ 到 $BC$，$AC$，$AB$ 的距离分别为 $h_1$，$h_2$，$h_3$，二面角 $P-BC-A={\alpha }_1$，$P-AC-B={\alpha }_2$，$P-AB-C={\alpha }_3$.${\alpha }_1$，${\alpha }_2$，${\alpha }_3$ 都是锐角，且依次成等差数列，$h_1$，$h_2$，$h_3$ 依次成等比数列.求证：${\alpha }_1={\alpha }_2={\alpha }_3$.

🔍【思路分析】

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体积相等得 $h_1\sin {\alpha }_1=h_2\sin {\alpha }_2=h_3\sin {\alpha }_3$，等比得 ${\sin }^2{\alpha }_2=\sin {\alpha }_1\sin {\alpha }_3$，结合等差证 ${\sin }^{2}d=0$。

✅【答案】

Success

证明略（见解析）

✍【详细解析】

Abstract

记三棱锥体积为 $V$，底面三角形面积为 $S$。设从 $A$ 到 $BC$ 的高为 $h_a$，以 $BC$ 为棱作垂直截面，点 $P$ 到 $BC$ 的距离为 $h_1$，点 $A$ 到平面 $PBC$ 的距离为 $h_a\sin {\alpha }_1$，故 $V=\frac{1}{3}{S}_{△PBC}{h}_a\sin {\alpha }_1=\frac{1}{3}S{h}_1\sin {\alpha }_1$。同理 $V=\frac{1}{3}S{h}_2\sin {\alpha }_2=\frac{1}{3}S{h}_3\sin {\alpha }_3$，故 $h_1\sin {\alpha }_1=h_2\sin {\alpha }_2=h_3\sin {\alpha }_3$。设公共值为 $c$，因 $h_1,h_2,h_3$ 成等比数列，$h_2^2=h_1{h}_3$，于是 ${\sin }^2{\alpha }_2=\frac{c^2}{h_2^2}=\frac{c^2}{h_1{h}_3}=\sin {\alpha }_1\sin {\alpha }_3$。又 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 成等差，${\alpha }_2=\frac{{\alpha }_1+{\alpha }_3}{2}$。令 $d=\frac{{\alpha }_3-{\alpha }_1}{2}$，则 $\sin {\alpha }_1\sin {\alpha }_3=\sin ({\alpha }_2-d)\sin ({\alpha }_2+d)={\sin }^2{\alpha }_2-{\sin }^{2}d$。比较得 ${\sin }^{2}d=0$，因两角均为锐角，故 $d=0$，即 ${\alpha }_1={\alpha }_3$，再由等差关系得 ${\alpha }_1={\alpha }_2={\alpha }_3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二面角与等差数列

核心方法：体积法得 $h_i\sin {\alpha }_i$ 相等

避坑指南：等比与等差结合证 ${\sin }^{2}d=0\Rightarrow d=0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二面角与等差等比数列交汇

结论推广：${\sin }^2{\alpha }_2=\sin {\alpha }_1\sin {\alpha }_3$ 结合等差

方法推广：体积法建立等式再比较

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1986-上海理-35 解-折叠与二面角
• 1985-全国文-15 解-三棱锥二面角与内切圆