1985-上海理-20 解-反证法

本题导读

本题考查用反证法证明方程根的唯一性。核心在于利用严格单调性导出矛盾。

📌【题干】

Question

（1985年上海卷(理)） 已知函数 $f(x)$ 对其定义域内的任意两个实数 $a$，$b$，当 $a<b$ 时，都有 $f(a)<f(b)$.试用反证法证明：方程 $f(x)=0$ 至多有一个实数根.

🔍【思路分析】

破题导航

假设至少有两个不同实根 $x_1<x_2$，由单调性导出 $f(x_1)<f(x_2)$ 与均为零矛盾。

✅【答案】

Success

证明略（见解析）

✍【详细解析】

Abstract

假设方程 $f(x)=0$ 至少有两个不同的实根 $x_1,x_2$，不妨设 $x_1<x_2$。由题设函数严格递增，有 $f(x_1)<f(x_2)$。但 $x_1,x_2$ 均为根，故 $f(x_1)=f(x_2)=0$，与 $f(x_1)<f(x_2)$ 矛盾。故假设不成立，方程 $f(x)=0$ 至多有一个实根。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反证法

核心方法：反证法假设两个根导出矛盾

避坑指南：严格递增函数 $f(x_1)<f(x_2)$ 与 $f(x_1)=f(x_2)=0$ 矛盾

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反证法是证明唯一性的常用方法

结论推广：严格单调函数零点的唯一性

方法推广：假设两根再导出与单调性矛盾

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-04 单-反证法
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断