1984-全国文-14 解-等差数列的反证法证明

本题导读

本题考查等差数列性质的否定证明。核心在于反证法导出与公差非零的矛盾。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(文)） 已知等差数列 $a$、$b$、$c$ 中的三个数都是正数，且公差不为零.求证：它们的倒数所组成的数列 $\frac{1}{a}$、$\frac{1}{b}$、$\frac{1}{c}$ 不可能成等差数列.

🔍【思路分析】

破题导航

假设倒数成等差，结合 $a+c=2b$ 推出 $a=c$，与公差不为零矛盾。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

由 $a$、$b$、$c$ 成等差数列，得 $a+c=2b$。又因公差不为零，所以 $a\ne c$。假设 $\frac{1}{a}$、$\frac{1}{b}$、$\frac{1}{c}$ 也成等差数列，则 $\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{a+c}{ac}=\frac{2b}{ac}$。由于 $a$、$b$、$c$ 均为正数，约去 $2b$ 得 $ac=b^2$。联立 $a+c=2b$，有 $(a-c{)}^2=(a+c{)}^2-4ac=4b^2-4b^2=0$，从而 $a=c$，这与公差不为零矛盾。所以三个数的倒数不可能成等差数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的反证法证明

核心方法：反证法导出矛盾

避坑指南：假设倒数成等差，结合 $a+c=2b$ 推出 $a=c$ 与公差非零矛盾

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列性质的否定证明

结论推广：倒数数列不再是等差数列

方法推广：反证法与代数变形

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1985-上海文-04 填-等差数列的通项
• 1985-上海理-20 解-反证法