1985-上海理-19 解-三角方程

本题导读

本题考查三角方程的解法。核心在于降次后和差化积分解因式。

📌【题干】

Question

（1985年上海卷(理)） 解三角方程 ${\cos }^{2}x+{\cos }^{2}3x=1$.

🔍【思路分析】

破题导航

半角公式降次得 $\cos 2x+\cos 6x=0$，再和差化积。

✅【答案】

Success

$x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}$ 或 $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$（$k\in \mathbb{Z}$）

✍【详细解析】

Abstract

由半角公式，原方程等价于 $\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}=1$，即 $\cos 2x+\cos 6x=0$。和差化积得 $2\cos 4x\cos 2x=0$。由 $\cos 4x=0$ 得 $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}$；由 $\cos 2x=0$ 得 $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$（$k\in \mathbb{Z}$）。故解为这两类解的并集。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角方程

核心方法：半角公式降次 + 和差化积

避坑指南：$\cos 2x+\cos 6x=0\Rightarrow \cos 4x\cos 2x=0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角方程是三角恒等变换综合

结论推广：$\cos A\cos B=0$ 型方程解法

方法推广：降次后和差化积分解因式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1986-上海理-02 单-和差化积公式
• 1989-上海-03 填-三角方程的解集