1985-上海理-07 填-余弦二倍角与最值

本题导读

本题考查利用二倍角公式求三角函数最值。

📌【题干】

Question

（1985年上海卷(理)） 函数 $y={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x$ 的最小值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

${\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x=-\cos 2x$。

✅【答案】

Success

$-1$

✍【详细解析】

Abstract

由二倍角公式 ${\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x=-\cos 2x$。因 $-1\le \cos 2x\le 1$，故 $-\cos 2x$ 的最小值为 $-1$，当 $\cos 2x=1$ 时取得。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦二倍角与最值

核心方法：${\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x=-\cos 2x$

避坑指南：最小值为 $-1$，取等时 $\cos 2x=1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二倍角余弦是最值题常用工具

结论推广：$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1$

方法推广：化成单一三角函数求最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1986-上海理-02 单-和差化积公式
• 1992-上海-03 填-三角函数的最值