1985-上海理-02 填-反函数

本题导读

本题考查反函数的求法。

📌【题干】

Question

（1985年上海卷(理)） 函数 $y=\sqrt[8]{x}-1$ 的反函数是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

反解 $x$，再互换 $x,y$，注意定义域。

✅【答案】

Success

$y=(x+1{)}^8(x\ge -1)$

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\sqrt[8]{x}-1$ 得 $\sqrt[8]{x}=y+1$，故 $x=(y+1{)}^8$。互换 $x,y$ 得反函数 $y=(x+1{)}^8$。原函数定义域 $x\ge 0$、值域 $y\ge -1$，故反函数定义域为 $x\ge -1$。所以反函数为 $y=(x+1{)}^8(x\ge -1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数

核心方法：反解 $x$ 后互换 $x,y$

避坑指南：8 次根号反解后 $x=(y+1{)}^8$，勿把根指数 8 误作 3

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数是高考高频考点

结论推广：反函数与原函数图象关于 $y=x$ 对称

方法推广：反解—换元—定域三步

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-上海-01 填-反函数
• 1986-广东文-27 填-对数函数的反函数