1984-全国卷理-20 解-相关变化率与解析几何建模

本题导读

本题考查相关变化率与解析几何建模（附加题，含图）。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(理)） 如图，已知圆心为 $O$、半径为 $1$ 的圆与直线 $l$ 相切于点 $A$，一动点 $P$ 自切点 $A$ 沿直线 $l$ 向右移动时，取 $\widehat{AC}$ 的长为 $\frac{2}{3}AP$，直线 $PC$ 与直线 $AO$ 交于点 $M$.又知当 $AP=\frac{3\pi }{4}$ 时，点 $P$ 的速度为 $v$，求这时点 $M$ 的速度.

🔍【思路分析】

破题导航

建系，设 $AP=x$，由三点共线得 $M$ 位置函数 $y=f(x)$，再用链式法则求 $\frac{dy}{dt}$。

✅【答案】

Success

$\frac{2(3{\pi }^2-4\pi -8)}{(3\pi -4{)}^2}v$

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点、$l$ 为 $x$ 轴、$AO$ 为 $y$ 轴建系。圆 $O(0,1)$，点 $P(x,0)$。弧 $AC=\frac{2}{3}x$，对应圆心角 $\angle AOC=\frac{2}{3}x$，故 $C(\sin \frac{2x}{3},1-\cos \frac{2x}{3})$。设 $M$ 在 $y$ 轴上为 $(0,y)$，由 $M,C,P$ 共线得 $\frac{0-y}{x-0}=\frac{(1-\cos \frac{2x}{3})-0}{\sin \frac{2x}{3}-x}$，解得 $y=\frac{x(1-\cos \frac{2x}{3})}{x-\sin \frac{2x}{3}}$。点 $M$ 速度 $v_M=\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}=(\frac{dy}{dx})\cdot v$。当 $x=\frac{3\pi }{4}$ 时 $\frac{2x}{3}=\frac{\pi }{2}$，$\sin =1,\cos =0$。由商法则求 $\frac{dy}{dx}$ 在该点得 $\frac{2(3{\pi }^2-4\pi -8)}{(3\pi -4{)}^2}$。故 $v_M=\frac{2(3{\pi }^2-4\pi -8)}{(3\pi -4{)}^2}v$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相关变化率与解析几何建模

核心方法：建系与链式法则

避坑指南：建系得 M 位置函数，再用相关变化率 dy/dt=(dy/dx)·v

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相关变化率

结论推广：几何建模 + 链式法则

方法推广：先求位置函数再求导

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-23 解-复合函数求导
• 2007-福建卷理-11 单-导数复合函数运算法则