1984-全国卷理-19 解-数列递推与不等式放缩

本题导读

本题考查数列递推、数学归纳法与不等式放缩。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(理)） 设 $a>2$，给定数列 $\{x_n\}$，其中 $x_1=a$，$x_{n+1}=\frac{x_n^2}{2(x_n-1)}(n=1,2,\dots )$.求证：(1) $x_n>2$，且 $\frac{x_{n+1}}{x_n}<1$；(2) 如果 $a\le 3$，那么 $x_n\le 2+\frac{1}{2^{n-1}}$；(3) 如果 $a>3$，那么当 $n\ge \frac{\lg \frac{a}{3}}{\lg \frac{4}{3}}$ 时，必有 $x_{n+1}<3$.

🔍【思路分析】

破题导航

用数学归纳法证(1)；令 $y_n=x_n-2$ 放缩证(2)；对 $x_n\ge 3$ 时建立 $x_{n+1}\le \frac{3}{4}{x}_n$ 证(3)。

✅【答案】

Success

见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 归纳证 $x_n>2$：$n=1$ 成立；若 $x_k>2$，则 $x_{k+1}-2=\frac{(x_k-2{)}^2}{2(x_k-1)}>0$。又 $\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{x_n}{2(x_n-1)}$，因 $x_n>2$ 得 $\frac{x_n-2}{2(x_n-1)}<0$，即比值 $<1$。(2) 令 $y_n=x_n-2>0$，由 $x_{n+1}=y_{n+1}+2=\frac{y_n^2}{2(y_n+1)}$ 得 $y_{n+1}=\frac{y_n^2}{2(y_n+1)}<\frac{y_n}{2}$，递推得 $y_n<(\frac{1}{2}{)}^{n-1}{y}_1\le (\frac{1}{2}{)}^{n-1}$（$a\le 3$ 时 $y_1\le 1$），故 $x_n\le 2+\frac{1}{2^{n-1}}$。(3) 当 $x_n\ge 3$ 时 $\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{x_n}{2(x_n-1)}\le \frac{3}{2\cdot 2}=\frac{3}{4}$，故 $x_{n+1}\le (\frac{3}{4})x_n\le (\frac{3}{4}{)}^{n}a$。令 $(\frac{3}{4}{)}^{n}a<3\Rightarrow (\frac{4}{3}{)}^n>\frac{a}{3}\Rightarrow n>\frac{\lg \frac{a}{3}}{\lg \frac{4}{3}}$，即 $n\ge \frac{\lg \frac{a}{3}}{\lg \frac{4}{3}}$ 时 $x_{n+1}<3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列递推与不等式放缩

核心方法：归纳法与放缩

避坑指南：归纳证 x_n>2；令 y_n=x_n-2 放缩；x_n≥3 时建 x_{n+1}≤(3/4)x_n

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：递推数列与不等式

结论推广：归纳法、放缩法与对数估算

方法推广：递推式的单调放缩

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2015-山东卷理-18 解-数列递推
• 2017-浙江卷-22 解-数列综合