1984-全国卷理-16 解-共轭虚根与椭圆第一定义

本题导读

本题考查实系数方程的共轭虚根与椭圆的第一定义。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(理)） 设 $p\ne 0$，实系数一元二次方程 $z^2-2pz+q=0$ 有两个虚数根 $z_1,z_2$.再设 $z_1,z_2$ 在复平面内的对应点是 $Z_1,Z_2$.求以 $Z_1,Z_2$ 为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.

🔍【思路分析】

破题导航

$z_1,z_2$ 共轭，$|z_1|=|z_2|=\sqrt{q}$；椭圆过原点 $\Rightarrow 2a=|O{Z}_1|+|O{Z}_2|$。

✅【答案】

Success

$2\sqrt{q}$

✍【详细解析】

Abstract

实系数方程虚根成对，$z_2=\overline{z_1}$。由韦达定理 $z_1{z}_2=q$。椭圆以 $Z_1,Z_2$ 为焦点且过原点 $O$，由第一定义 $2a=|O{Z}_1|+|O{Z}_2|=|z_1|+|z_2|$。因 $z_1,z_2$ 共轭，$|z_1|=|z_2|$，且 $|z_1{|}^2=z_1\overline{z_1}=z_1{z}_2=q$。由虚根 $\Delta =4p^2-4q<0$ 且 $p\ne 0$ 得 $q>0$，故 $|z_1|=\sqrt{q}$，$2a=2\sqrt{q}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：共轭虚根与椭圆第一定义

核心方法：共轭性质与模长

避坑指南：虚根共轭，|z₁|=|z₂|=√q；椭圆过原点用第一定义

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：共轭虚根与圆锥曲线

结论推广：虚根共轭，模平方为两根之积

方法推广：复数模长的几何意义

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-湖南卷文-01 单-复数运算
• 1989-上海-02 填-复数乘除的运算