1984-全国卷理-05 单-半角象限判定与算术平方根本质

本题导读

本题考查半角的象限判定与算术平方根的非负性。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(理)） 如果 $\theta$ 是第二象限角，且满足 $\cos \frac{\theta }{2}-\sin \frac{\theta }{2}=\sqrt{1-\sin \theta }$，那么 $\frac{\theta }{2}$()

A. 是第一象限角 B. 是第三象限角 C. 可能是第一象限角，也可能是第三象限角 D. 是第二象限角

🔍【思路分析】

破题导航

由 $\theta$ 二象限得 $\frac{\theta }{2}$ 在一或三象限；由根号非负得 $\cos \frac{\theta }{2}\ge \sin \frac{\theta }{2}$，排除第一象限。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$\theta$ 第二象限 $\Rightarrow 2k\pi +\frac{\pi }{2}<\theta <2k\pi +\pi \Rightarrow k\pi +\frac{\pi }{4}<\frac{\theta }{2}<k\pi +\frac{\pi }{2}$。$k$ 偶时 $\frac{\theta }{2}$ 在第一象限，$k$ 奇时在第三象限。又 $\sqrt{1-\sin \theta }\ge 0$，故 $\cos \frac{\theta }{2}-\sin \frac{\theta }{2}\ge 0$，即 $\cos \frac{\theta }{2}\ge \sin \frac{\theta }{2}$。在第一象限 $(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$ 内 $\sin >\cos$ 矛盾；在第三象限 $(\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{2})$ 内 $\cos >\sin$ 成立。故 $\frac{\theta }{2}$ 为第三象限角，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角象限判定与算术平方根本质

核心方法：半角区间与根号非负

避坑指南：θ/2 在一或三象限；由 √(1-sinθ)≥0 得 cos≥sin，排除第一象限

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：半角三角函数与根式化简

结论推广：√(1-sinθ)=|cos(θ/2)-sin(θ/2)|

方法推广：算术平方根的非负性约束

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷理-04 单-第二象限角的半角三角函数符号
• 1990-上海卷-15 单-半角的象限判断