1984-全国文-18 解-椭圆与圆的位置关系

本题导读

本题考查两椭圆的焦点与过交点的切圆方程。核心在于圆族设法与相切判别式。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(文)） 已知两个椭圆的方程分别是 $C_1:x^2+9y^2-45=0$，$C_2:x^2+9y^2-6x-27=0$.

(1)求这两个椭圆的中心、焦点的坐标；

(2)求经过这两个椭圆的交点且与直线 $x-2y+11=0$ 相切的圆的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)分别化标准方程；(2)两椭圆方程相减定交点，设圆族过两交点，相切 $Delta=0$ 解参数。

✅【答案】

Success

(1)$C_1$ 中心 $(0,0)$ 焦点 $(\pm 2\sqrt{10},0)$；$C_2$ 中心 $(3,0)$ 焦点 $(3\pm 4\sqrt{2},0)$；(2)$x^2+y^2+2x-19=0$ 或 $x^2+y^2-28x+71=0$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$C_1$ 化为 $\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{5}=1$，中心 $(0,0)$，焦距 $\sqrt{45-5}=2\sqrt{10}$，焦点 $(\pm 2\sqrt{10},0)$。$C_2$ 化为 $\frac{(x-3{)}^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$，中心 $(3,0)$，焦距 $\sqrt{36-4}=4\sqrt{2}$，焦点 $(3\pm 4\sqrt{2},0)$。 (2)两椭圆的交点满足 $45=6x+27$，故 $x=3$，代入 $x^2+9y^2=45$ 得 $y=\pm 2$，交点为 $(3,2)$ 与 $(3,-2)$。设所求圆为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，代入两点得 $13+3D+2E+F=0$ 与 $13+3D-2E+F=0$，相减得 $E=0$，进而 $F=-3D-13$。圆族为 $x^2+y^2+Dx-3D-13=0$。将直线 $x-2y+11=0$ 写为 $y=\frac{x+11}{2}$，代入圆族并乘以 4，得 $5x^2+(22+4D)x+69-12D=0$。相切时该二次方程有重根，故 $(22+4D{)}^2-20(69-12D)=0$，即 $D^2+26D-56=0$，解得 $D=2$ 或 $D=-28$。故所求圆为 $x^2+y^2+2x-19=0$ 或 $x^2+y^2-28x+71=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与圆的位置关系

核心方法：圆族设方程与相切判别式

避坑指南：过两交点的圆族 $x^2+y^2+Dx-3D-13=0$，相切 $\Delta =0$ 解 $D$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：曲线族与相切条件

结论推广：过定点的圆族与直线相切

方法推广：判别式法求参数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-10 单-圆与抛物线的相切
• 1986-广东文-20 单-椭圆与抛物线的交点