1984-全国文-13 解-函数图象的画法

本题导读

本题考查分式型函数图象的作法。核心在于抓住渐近线与对称性。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(文)） 画出函数 $y=\frac{1}{(x+1{)}^2}$ 的图象.

🔍【思路分析】

破题导航

定义域 $x\ne -1$，渐近线 $x=-1$ 与 $y=0$，关于 $x=-1$ 对称，过 $(-2,1)$、$(0,1)$。

✅【答案】

Success

位于 $x$ 轴上方、以 $x=-1$ 与 $y=0$ 为渐近线的两支曲线（图略）

✍【详细解析】

Abstract

函数的定义域为 $x\ne -1$，且 $y>0$。直线 $x=-1$ 与 $y=0$ 分别是竖直渐近线和水平渐近线；图象关于直线 $x=-1$ 对称，并经过 $(-2,1)$ 与 $(0,1)$。又 $y^{\prime }=-\frac{2}{(x+1{)}^3}$，函数在 $(-\infty ,-1)$ 上递增，在 $(-1,+\infty )$ 上递减。因此图象由位于 $x$ 轴上方、分别在直线 $x=-1$ 两侧的两支曲线组成。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数图象的画法

核心方法：渐近线与单调性定形

避坑指南：双曲型函数画图抓渐近线 $x=-1$、$y=0$ 与特殊点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数图象的手工作图

结论推广：渐近线控制的双曲线型图象

方法推广：定义域、渐近线、特殊点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1988-上海-18 单-函数图象识别
• 1995-全国卷文-02 单-反比例型函数的图象识别