1983-全国理-13 解-指对不等式与单调性

本题导读

本题考查经典不等式 $a^b>b^a$（$\mathrm{e}<a<b$），构造函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 用单调性证明。

📌【题干】

Question

（1983年全国卷(理)） (1) 已知 $a,b$ 为实数，并且 $\mathrm{e}<a<b$，其中 $\mathrm{e}$ 是自然对数的底数，证明：$a^b>b^a$；

(2) 如果正实数 $a,b$ 满足 $a^b=b^a$，且 $a<1$，证明：$a=b$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 两边取对数化为比较 $\frac{\ln x}{x}$ 的大小；(2) 由 $a<1$ 推得 $b<1$，再利用 $(0,1)$ 上严格单调得等号。

✅【答案】

Success

(1) 已证 $a^b>b^a$ (2) 已证 $a=b$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 要证 $a^b>b^a$（其中 $\mathrm{e}<a<b$），两边取对数等价于证 $b\ln a>a\ln b$，即 $\frac{\ln a}{a}>\frac{\ln b}{b}$。设 $f(x)=\frac{\ln x}{x}(x>\mathrm{e})$，则 $f"(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}<0$（当 $x>\mathrm{e}$ 时），故 $f$ 在 $(\mathrm{e},+\infty )$ 单调递减。由 $a<b$ 得 $f(a)>f(b)$，即 $\frac{\ln a}{a}>\frac{\ln b}{b}$，从而 $a^b>b^a$。 (2) 由 $a^b=b^a$ 得 $f(a)=f(b)$（$f(x)=\frac{\ln x}{x}$）。因 $0<a<1$，有 $f(a)<0$；而 $x>1$ 时 $f(x)>0$，故必有 $0<b<1$。在 $(0,1)$ 上 $f"(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}>0$，$f$ 严格递增，故由 $f(a)=f(b)$ 得 $a=b$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指对不等式与单调性

核心方法：构造函数与导数单调

避坑指南：比较 a^b 与 b^a 等价于比较 ln x/x；由单调性证等号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指对不等式

结论推广：x/ln x 或 ln x/x 的单调性

方法推广：构造函数用导数比较幂指大小

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2008-江西文-04 单-指对数单调性比较
• 1990-上海卷-18 单-对数的大小比较