1983-全国理-08 解-三阶行列式的计算

本题导读

本题考查三阶行列式的计算，借三角恒等变形可化简为 0。

📌【题干】

Question

（1983年全国卷(理)） 计算行列式（要求结果最简）： $\left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos (\alpha +\phi )& \cos \alpha \\ \cos \beta & \sin (\beta -\phi )& \sin \beta \\ \sin \phi & \cos 2\phi & \cos \phi \end{array}\right|$

🔍【思路分析】

破题导航

按第一行展开，借助和差角公式逐项化简，最后各项相消得 0。

✅【答案】

Success

$0$

✍【详细解析】

Abstract

按第一行展开： $\Delta =\sin \alpha \left|\begin{array}{cc}\sin (\beta -\phi )& \sin \beta \\ \cos 2\phi & \cos \phi \end{array}\right|-\cos (\alpha +\phi )\left|\begin{array}{cc}\cos \beta & \sin \beta \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right|+\cos \alpha \left|\begin{array}{cc}\cos \beta & \sin (\beta -\phi )\\ \sin \phi & \cos 2\phi \end{array}\right|$。 利用和角公式展开并合并同类项，可得 $\Delta \equiv 0$（亦可直接验证第三列等于前两列的线性组合，故行列式为 $0$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三阶行列式的计算

核心方法：行列式展开与三角恒等

避坑指南：按行展开后借和差角公式化简，或识破列线性相关

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：行列式计算

结论推广：行列式按行展开与三角恒等式

方法推广：列（行）线性相关则行列式为 0

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1953-全国-03 解-三阶行列式对角线法则
• 2018-江苏卷-21B 解-行列式