1981-全国理-05 解-三阶行列式与含参不等式

本题导读

本题考查三阶行列式的化简与含参不等式求解，关键是用行变换化出因式 $x^2(x-a-b-c)$。

📌【题干】

Question

（1981年全国卷(理)） 5. 解不等式（$x$ 为未知数）： $\left|\begin{array}{ccc}x-a& b& -c\\ a& x-b& c\\ -a& b& x-c\end{array}\right|>0$.

🔍【思路分析】

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将第 2、3 行分别加上第 1 行，行列式化为上三角型，按第 3 行展开得到 $x^2(x-a-b-c)>0$；再由 $x^2\ge 0$ 且 $x\ne 0$ 求解。

✅【答案】

Success

$x\ne 0$ 且 $x>a+b+c$

✍【详细解析】

Abstract

记左端行列式为 $D$。把第 2 行、第 3 行分别加上第 1 行： $D=\left|\begin{array}{ccc}x-a& b& -c\\ x& x& 0\\ x-2a& 2b& x-2c\end{array}\right|$。 按第 2 行展开： $D=-x\left|\begin{array}{cc}b& -c\\ 2b& x-2c\end{array}\right|+x\left|\begin{array}{cc}x-a& -c\\ x-2a& x-2c\end{array}\right|$ $=-x\cdot bx+x[(x-a)(x-2c)+c(x-2a)]$ $=-b{x}^2+x(x^2-cx-ax)=x^2(x-a-b-c)$。 原不等式即 $x^2(x-a-b-c)>0$。因为 $x^2\ge 0$ 且仅当 $x=0$ 时取 $0$，故须 $x\ne 0$ 且 $x-a-b-c>0$，即 $x\ne 0$ 且 $x>a+b+c$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三阶行列式与含参不等式

核心方法：行列式行变换与含参不等式

避坑指南：先用行变换化出 $x^2(x-a-b-c)>0$；由 $x^2\ge 0$ 且 $x\ne 0$ 得 $x>a+b+c$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三阶行列式的性质

结论推广：行列式行变换保持值不变，可化出大量零元

方法推广：含参不等式的分类讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 26.01 合情推理与演绎推理

类题演练 (Links)

• 1983-全国理-08 解-三阶行列式的计算
• 1952-全国-05 填-三阶行列式求值