1983-全国理-07 解-微分与组合计数

本题导读

本题考查一元函数微分与组合计数两个独立小问，分别用求导法则与补集法。

📌【题干】

Question

（1983年全国卷(理)） (1) 已知 $y={\mathrm{e}}^{-x}\sin 2x$，求微分 $\mathrm{d}y$.

(2) 一个小组共有 $10$ 名同学，其中 $4$ 名是女同学，$6$ 名是男同学. 要从小组内选出 $3$ 名代表，其中至少有 $1$ 名女同学，求一共有多少种选法.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 用乘积求导得 $\mathrm{d}y$；(2) 总选法减去全是男同学的选法。

✅【答案】

Success

(1) $\mathrm{d}y={\mathrm{e}}^{-x}(2\cos 2x-\sin 2x)\mathrm{d}x$ (2) $100$ 种

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由乘积求导法则，$\mathrm{d}y=\mathrm{d}({\mathrm{e}}^{-x}\sin 2x)={\mathrm{e}}^{-x}(2\cos 2x-\sin 2x)\mathrm{d}x$。(2) 总选法减去全为男同学的选法：${\mathrm{C}}_{10}^3-{\mathrm{C}}_6^3=120-20=100$ 种。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：微分与组合计数

核心方法：乘积求导与排除法

避坑指南：微分用乘积法则；组合用 C(10,3)-C(6,3) 总减补

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：微分与计数

结论推广：乘积求导；至少一类的补集法

方法推广：求导法则与组合排除模型

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2005-北京卷理-15 解-导数的几何意义与代数运算
• 2009-广东卷理-07 单-排列组合