1982-全国文-03 解-方程表示曲线与作图

本题导读

本题考查二元二次方程所表示曲线的识别与作图。

📌【题干】

Question

（1982年全国卷(文)） 在平面直角坐标系内，表中的方程表示什么曲线？并画出它们的图形：

序号	方程	曲线名称	图形
1	$4x^2+y^2=4$
2	$x-3=0$

🔍【思路分析】

破题导航

$4x^2+y^2=4$ 化为 $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}=1$；$x-3=0$ 即 $x=3$。

✅【答案】

Success

(1)椭圆；(2)直线（图略）

✍【详细解析】

Abstract

$4x^2+y^2=4$ 两边同除以 4，得 $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}=1$，表示中心在原点、长半轴为 2（在 $y$ 轴）、短半轴为 1（在 $x$ 轴）的椭圆。$x-3=0$ 即 $x=3$，表示垂直于 $x$ 轴、过点 $(3,0)$ 的直线。据此描点作图即可。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：方程表示曲线与作图

核心方法：配方法识别曲线

避坑指南：$4x^2+y^2=4$ 化为 $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}=1$ 是椭圆，$x-3=0$ 是直线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二元二次方程的图形

结论推广：椭圆与直线的标准方程

方法推广：配方法识别曲线

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1984-全国文-12 解-抛物线的画图
• 1984-全国文-13 解-函数图象的画法