1982-全国理-09 解-递推数列的通项与极限

本题导读

本题考查递推数列的通项与极限，先用归纳法（或解一阶线性递推）求 $b_n$，再放缩提取主导项 $p^n$ 求极限。

📌【题干】

Question

（1982年全国卷(理)） 已知数列 $a_1,a_2,\cdots$ 和 $b_1,b_2,\cdots$，其中 $a_1=p$，$b_1=q$，$a_n=p{a}_{n-1}$，$b_n=q{a}_{n-1}+r{b}_{n-1}$（$n\ge 2$），$p,q,r$ 是已知常数，且 $q\ne 0$，$p>r>0$.

(1) 用 $p,q,r,n$ 表示 $b_n$，并用数学归纳法加以证明；

(2) 求 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 先由 $a_n=p^n$，递推式化为 $b_n-r{b}_{n-1}=q{p}^{n-1}$，归纳可得 $b_n=\frac{q(p^n-r^n)}{p-r}$。 (2) 当 $n\to \infty$ 时 $p^n$ 主导，代入化简极限。

✅【答案】

Success

(1) $b_n=\frac{q(p^n-r^n)}{p-r}$ (2) $\frac{q}{\sqrt{(p-r{)}^2+q^2}}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $a_n=p{a}_{n-1}$、$a_1=p$ 得 $a_n=p^n$。归纳证明 $b_n=\frac{q(p^n-r^n)}{p-r}$： $n=1$ 时右端 $=\frac{q(p-r)}{p-r}=q=b_1$，成立。 设 $n=k$ 成立，则 $n=k+1$ 时 $b_{k+1}=q{a}_k+r{b}_k=q{p}^k+r\cdot \frac{q(p^k-r^k)}{p-r}=\frac{q[p^k(p-r)+r{p}^k-r^{k+1}]}{p-r}=\frac{q(p^{k+1}-r^{k+1})}{p-r}$，成立。 故对任意 $n$ 有 $b_n=\frac{q(p^n-r^n)}{p-r}$。 (2) 由 $a_n=p^n$、$b_n=\frac{q(p^n-r^n)}{p-r}$，因 $p>r>0$，当 $n\to \infty$ 时 $r^n=o(p^n)$， $\frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}=\frac{\frac{q(p^n-r^n)}{p-r}}{\sqrt{p^{2n}+\frac{q^2(p^n-r^n{)}^2}{(p-r{)}^2}}}\sim \frac{\frac{q}{p-r}{p}^n}{p^n\sqrt{1+\frac{q^2}{(p-r{)}^2}}}=\frac{q}{\sqrt{(p-r{)}^2+q^2}}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推数列的通项与极限

核心方法：递推数列求通项与放缩求极限

避坑指南：由 $b_n-r{b}_{n-1}=q{p}^{n-1}$ 解一阶线性递推；极限中提取主导项 $p^n$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：一阶线性递推数列

结论推广：由 $a_n=p^n$、$b_n$ 递推得 $b_n=\frac{q(p^n-r^n)}{p-r}$

方法推广：特征法/归纳法 + 极限主导项

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1982-全国文-09 解-无穷数列的面积和
• 1983-全国理-12 解-等比数列与数列极限