1982-全国理-08 解-抛物线内接三角形的切线

本题导读

本题考查抛物线内接三角形的切线性质，用参数法设三点，由两切线条件推出第三切线自动成立。

📌【题干】

Question

（1982年全国卷(理)）抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的内接三角形有两边与抛物线 $x^{2} = 2 q y$ 相切，证明这个三角形的第三边也与 $x^{2} = 2 q y$ 相切.

🔍【思路分析】

破题导航

设内接三角形顶点参数为 $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ ，写出三边直线方程，利用直线与 $x^{2} = 2 q y$ 相切的 $q$ 判别式；若两边对应同一 $q$ ，则推出 $t_{1} + t_{2} + t_{3} = 0$ ，第三边亦满足。

✅【答案】

Success

第三边也与抛物线 $x^{2} = 2 q y$ 相切（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

设 $y^{2} = 2 p x$ 上三点为 $A (2 p t_{1}^{2}, 2 p t_{1}), B (2 p t_{2}^{2}, 2 p t_{2}), C (2 p t_{3}^{2}, 2 p t_{3})$ 。过 $A, B$ 的直线斜率为 $\frac{2 p t _{1} - 2 p t _{2}}{2 p t _{1}^{2} - 2 p t _{2}^{2}} = \frac{1}{t _{1} + t _{2}}$ ，方程为 $x - (t_{1} + t_{2}) y + 2 p t_{1} t_{2} = 0$ 。同理 $B C : x - (t_{2} + t_{3}) y + 2 p t_{2} t_{3} = 0$ ， $C A : x - (t_{3} + t_{1}) y + 2 p t_{3} t_{1} = 0$ 。直线 $x - sy + c = 0$ 与 $x^{2} = 2 q y$ 相切 $\Leftrightarrow$ 代入得 $s^{2} y^{2} - 2 scy + c^{2} - 2 q y = 0$ 判别式为 0 $\Leftrightarrow 4 q (2 sc + q) = 0 \Rightarrow q = - 2 sc$ 。对 $A B$ ： $s = t_{1} + t_{2}, c = 2 p t_{1} t_{2}$ ，相切要求 $q = - 4 p t_{1} t_{2} (t_{1} + t_{2})$ ；对 $B C$ ： $q = - 4 p t_{2} t_{3} (t_{2} + t_{3})$ 。两者为同一抛物线，故相等，即 $t_{1} t_{2} (t_{1} + t_{2}) = t_{2} t_{3} (t_{2} + t_{3})$ 。因 $t_{2} \neq = 0$ 且三点不同，化简得 $t_{1} + t_{2} + t_{3} = 0$ 。此时对 $C A$ ： $q = - 4 p t_{3} t_{1} (t_{3} + t_{1}) = - 4 p t_{3} t_{1} (- t_{2}) = 4 p t_{1} t_{2} t_{3}$ ，而 $A B$ 的 $q = - 4 p t_{1} t_{2} (t_{1} + t_{2}) = - 4 p t_{1} t_{2} (- t_{3}) = 4 p t_{1} t_{2} t_{3}$ ，相等，故 $C A$ 也与 $x^{2} = 2 q y$ 相切。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线内接三角形的切线

核心方法：参数化与公切线条件

避坑指南：设三点参数 $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ ，边线 $x - (t_{i} + t_{j}) y + 2 p t_{i} t_{j} = 0$ 与 $x^{2} = 2 q y$ 相切的 $q$ 相等推出 $t_{1} + t_{2} + t_{3} = 0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线内接三角形的切线性质

结论推广：抛物线的切线问题常用参数方程设点，由判别式等于零求切线

方法推广：参数化 + 公切线判别式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

1965-全国-07 解-抛物线内接三角形面积

1977-安徽理-06 解-抛物线与直线

∑ ( Math )

Explorer

1982-全国理-08 解-抛物线内接三角形的切线

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks