1982-全国理-05 解-对数绝对值的大小比较

本题导读

本题考查含参对数绝对值的大小比较，需按底数 $a > 1$ 与 $0 < a < 1$ 分别讨论，结论一致。

📌【题干】

Question

（1982年全国卷(理)）设 $0 < x < 1$ ， $a > 0$ ， $a \neq = 1$ ，比较 $∣ lo g_{a} (1 - x) ∣$ 与 $∣ lo g_{a} (1 + x) ∣$ 的大小（要写出比较过程）.

🔍【思路分析】

破题导航

因 $0 < 1 - x < 1 < 1 + x$ ，两对数异号；把绝对值转化为对数符号，并比较 $lo g_{a} (1 - x^{2})$ 的正负。

✅【答案】

Success

$∣ lo g_{a} (1 - x) ∣ > ∣ lo g_{a} (1 + x) ∣$

✍【详细解析】

Abstract

由 $0 < x < 1$ 知 $0 < 1 - x < 1$ 而 $1 + x > 1$ ，故 $lo g_{a} (1 - x)$ 与 $lo g_{a} (1 + x)$ 符号相反。又 $lo g_{a} (1 - x) + lo g_{a} (1 + x) = lo g_{a} (1 - x^{2})$ 。若 $a > 1$ ：则 $lo g_{a} (1 - x) < 0$ 、 $lo g_{a} (1 + x) > 0$ ，于是 $∣ lo g_{a} (1 - x) ∣ - ∣ lo g_{a} (1 + x) ∣ = - lo g_{a} (1 - x) - lo g_{a} (1 + x) = - lo g_{a} (1 - x^{2})$ ；因 $0 < 1 - x^{2} < 1$ ，有 $lo g_{a} (1 - x^{2}) < 0$ ，故差 $> 0$ 。若 $0 < a < 1$ ：则 $lo g_{a} (1 - x) > 0$ 、 $lo g_{a} (1 + x) < 0$ ，于是 $∣ lo g_{a} (1 - x) ∣ - ∣ lo g_{a} (1 + x) ∣ = lo g_{a} (1 - x) + lo g_{a} (1 + x) = lo g_{a} (1 - x^{2})$ ；此时底数 $0 < a < 1$ 且 $0 < 1 - x^{2} < 1$ ，有 $lo g_{a} (1 - x^{2}) > 0$ 。两种情形均有 $∣ lo g_{a} (1 - x) ∣ > ∣ lo g_{a} (1 + x) ∣$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数绝对值的大小比较

核心方法：分类讨论与对数绝对值

避坑指南：按 $a > 1$ 与 $0 < a < 1$ 讨论；统一转化为比较 $lo g_{a} (1 - x^{2})$ 的符号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数函数的单调性应用

结论推广：对任意 $a > 0, a \neq = 1$ 恒有 $∣ lo g_{a} (1 - x) ∣ > ∣ lo g_{a} (1 + x) ∣$

方法推广：比较绝对值转化为对数符号

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

1985-广东文-12 单-对数函数的定义域

1984-全国卷理-07 解-复合函数单调性与定义域

∑ ( Math )

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