1982-全国理-03 解-方程表示的曲线

本题导读

本题考查方程所表示的图形，第一问用行列式展开识别退化二次曲线，第二问消参化为标准椭圆。

📌【题干】

Question

（1982年全国卷(理)） (1) 下列方程表示什么曲线？画出它的图形： $\left|\begin{array}{ccc}2x& 1& 1\\ -3y& 2& 3\\ 6& 3& 4\end{array}\right|=0$.

(2) 方程 $\{\begin{array}{l}x=1+\cos \phi \\ y=2\sin \phi \end{array}$ 表示什么曲线？画出它的图形.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 按第一行展开行列式化简为一次方程即直线。(2) 由 $\cos \phi =x-1$、$\sin \phi =\frac{y}{2}$ 利用 ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ 消参。

✅【答案】

Success

(1) 直线 $2x-3y-6=0$ (2) 椭圆 $(x-1{)}^2+\frac{y^2}{4}=1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 按第一行展开： $\Delta =2x(2\cdot 4-3\cdot 3)-1(-3y\cdot 4-3\cdot 6)+1(-3y\cdot 3-2\cdot 6)=2x(-1)+12y+18-9y-12=-2x+3y+6$， 故方程为 $-2x+3y+6=0$，即 $2x-3y-6=0$，表示一条直线。 (2) 由 $x-1=\cos \phi$、$\frac{y}{2}=\sin \phi$，平方相加得 $(x-1{)}^2+\frac{y^2}{4}=1$，表示中心 $(1,0)$、长半轴 $2$（沿 $y$ 轴）的椭圆。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：方程表示的曲线

核心方法：行列式展开与参数方程消元

避坑指南：三阶行列式按第一行展开化简为直线；参数方程消参得 $(x-1{)}^2+\frac{y^2}{4}=1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：方程与图形的对应

结论推广：行列式为零方程表示退化二次曲线

方法推广：配方法/消元法识别曲线

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.04 椭圆与双曲线性质深度对比表
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 1983-全国理-02 单-方程表示的图形
• 1986-全国理-03 单-极坐标方程与曲线