1981-全国文-09 解-抛物线与直线的弦长及面积

本题导读

本题考查直线与抛物线的弦长及三角形面积。核心在于联立方程与弦长、点线距离公式。

📌【题干】

Question

（1981年全国卷(文)） (1)设抛物线 $y^2=4x$ 截直线 $y=2x+k$ 所得的弦长为 $3\sqrt{5}$，求 $k$ 的值.

(2)以本题(1)得到的弦为底边，以 $x$ 轴上的点 $P$ 为顶点做成三角形.当这三角形的面积为 $9$ 时，求 $P$ 的坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)联立求 $|x_1-x_2|$，弦长 $=\sqrt{5}|x_1-x_2|$；(2)用点线距离求高。

✅【答案】

Success

(1)$k=-4$；(2)$P(5,0)$ 或 $P(-1,0)$

✍【详细解析】

Abstract

(1)将 $y=2x+k$ 代入 $y^2=4x$，得 $(2x+k{)}^2=4x$，即 $4x^2+(4k-4)x+k^2=0$。设两交点的横坐标为 $x_1,x_2$，则 $x_1+x_2=1-k$，$x_1{x}_2=\frac{k^2}{4}$，于是 $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=(1-k{)}^2-k^2=1-2k$。弦长 $=\sqrt{1+2^2}|x_1-x_2|=\sqrt{5}\sqrt{1-2k}=3\sqrt{5}$，故 $1-2k=9$，$k=-4$。 (2)由 $k=-4$，直线为 $y=2x-4$，弦长为 $3\sqrt{5}$。设 $P(p,0)$，$P$ 到直线 $2x-y-4=0$ 的距离为 $d=\frac{|2p-4|}{\sqrt{5}}$。三角形面积 $S=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{5}\cdot d=\frac{3}{2}|2p-4|=9$，故 $|2p-4|=6$，解得 $p=5$ 或 $p=-1$。所以 $P(5,0)$ 或 $P(-1,0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线与直线的弦长及面积

核心方法：弦长公式与面积

避坑指南：联立求交点，弦长 $=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$，再求面积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与抛物线的位置关系

结论推广：弦长公式与点线距离求面积

方法推广：联立方程与判别式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1985-上海文-21 解-抛物线与定比轨迹
• 1986-广东文-20 单-椭圆与抛物线的交点