1981-全国文-08 解-正四棱柱截面与对角面的垂直

本题导读

本题考查正四棱柱截面与对角面的垂直。核心在于线面垂直的判定。

📌【题干】

Question

（1981年全国卷(文)） $ABCD\text{-}{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 为一正四棱柱，过 $A$，$C$，$B_1$ 三点作一截面，求证：截面 $AC{B}_1\perp$ 对角面 $DB{B}_1{D}_1$.

🔍【思路分析】

破题导航

证明 $AC\perp BD$ 且 $AC\perp B{B}_1$，得 $AC\perp$ 对角面，从而截面垂直对角面。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

在底面正方形 $ABCD$ 中，对角线 $AC\perp BD$。又正四棱柱中侧棱 $B{B}_1\perp$ 底面 $ABCD$，故 $B{B}_1\perp AC$。因为 $BD$、$B{B}_1$ 都在对角面 $DB{B}_1{D}_1$ 内且相交，所以 $AC\perp$ 对角面 $DB{B}_1{D}_1$。又 $AC\subset$ 截面 $AC{B}_1$，故截面 $AC{B}_1\perp$ 对角面 $DB{B}_1{D}_1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱柱截面与对角面的垂直

核心方法：线面垂直的判定

避坑指南：$AC\perp BD$ 且 $AC\perp B{B}_1$，故 $AC\perp$ 对角面，从而截面垂直对角面

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面垂直的判定与性质

结论推广：截面垂直对角面的证明

方法推广：三垂线定理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-22 解-正四棱柱的截面与体积
• 2003-大纲文-17 解-正四棱柱公垂线与距离