本题导读
本题考查直四棱柱的性质，以及线面垂直的判定。
📌【题干】
Question
（1998年全国卷(理)） 在直四棱柱 中，当底面四边形 满足条件 时，有 .（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）
🔍【思路分析】
破题导航
- 性质平移：在直四棱柱中，上下底面平行且全等，则直线 。因此，要满足 ，等价于要满足 。
- 利用正射影转化：因为该棱柱为直四棱柱，侧棱 底面 。因此，空间直线 在底面 上的正射影即为底面的对角线 。
- 应用三垂线定理：根据三垂线定理（或线面垂直的性质定理），一条斜线 垂直于底面内的一条直线 的充要条件是，它在底面上的射影 垂直于该直线 。
- 得出底面特征：从而将条件转化为底面四边形满足对角线互相垂直（），进而选择满足此几何特征的特殊四边形作答。
✅【答案】
Success
✍【详细解析】
Abstract
在直四棱柱 中，上底面与下底面平行。 因为 ，所以要使 ，只需使：
因为该几何体为直四棱柱，所以侧棱 平面 。 由此可知，空间直线 在底面 上的正射影为直线 。
根据三垂线定理（或线面垂直的判定与性质）：
也就是说，当底面四边形 的两条对角线互相垂直时，必有 。 在初等几何中，对角线互相垂直的四边形可以是：菱形、正方形。
（或：是菱形 / 是正方形）
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：直棱柱侧棱垂直于底面的空间特征；线面垂直性质的几何应用（斜线垂直于面内直线 射影垂直于面内直线）。 核心方法：射影法。将空间异面直线的动态垂直关系，投影降维到二维平面底面上，转化为平面内两条相交直线的垂直关系。 避坑指南：
- 混淆直四棱柱与正四棱柱：直四棱柱的底面只是任意四边形，不具有任何对称性，切勿主观默认其底面是矩形或正方形。
- 题目明确说明“填上你认为正确的一种条件即可”，因此无需将所有可能的情况（如菱形、正方形、对角线垂直的任意四边形）全部写出，选择最直接的平面几何特征 或具体图形（菱形）即可。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题出自教材中“直线与平面垂直的判定与性质”章节的开放性探索习题。通过条件留白的形式，考查逆向逻辑思维与对立体几何核心定理的掌握。 结论推广：在直多棱柱（或直平行六面体）中，若侧棱垂直于底面，则某一空间体对角线 与另一底面对角线 垂直的充要条件，永远是该空间体对角线在底面上的投影线段与 垂直。这一结论常用于快速解决高考立体几何小题中的垂直关系判断。
🔗【关联脉络】
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