1981-全国文-04 解-正弦型函数的最值

本题导读

本题考查正弦型函数的最大值。核心在于辅助角公式化为一角一函数。

📌【题干】

Question

（1981年全国卷(文)） 求函数 $f(x)=\sin x+\cos x$ 在区间 $(-\pi ,\pi )$ 上的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

$f(x)=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$，振幅 $\sqrt{2}$。

✅【答案】

Success

$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$。该函数的最大值为 $\sqrt{2}$。当 $x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$，即 $x=\frac{\pi }{4}\in (-\pi ,\pi )$ 时取得最大值，故 $f(x)$ 在 $(-\pi ,\pi )$ 上的最大值为 $\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数的最值

核心方法：辅助角公式求最值

避坑指南：$f(x)=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$，振幅 $\sqrt{2}$ 即最大值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：辅助角公式

结论推广：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$

方法推广：辅助角求最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1985-上海文-11 单-正弦型函数最值
• 1986-广东文-23 单-正弦型函数的单调区间