1981-全国理-07 解-指数增长与对数估算

本题导读

本题考查复利增长模型，用常用对数把 $(1+r{)}^{20}$ 降次，再用已知对数值反查结果。

📌【题干】

Question

（1981年全国卷(理)） 7. 设 1980 年底我国人口以 10 亿计算.

(1) 如果我国人口每年比上年平均递增 2%，那么到 2000 年底将达到多少？

(2) 要使 2000 年底我国人口不超过 12 亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？

下列对数值可供选用： $\lg 1.0087=0.00377$，$\lg 1.0092=0.00396$，$\lg 1.0096=0.00417$，$\lg 1.0200=0.00860$，$\lg 1.2000=0.07918$，$\lg 1.3098=0.11720$，$\lg 1.4568=0.16340$，$\lg 1.4859=0.17200$，$\lg 1.5157=0.18060$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 设 $x=1.02^{20}$，取对数 $\lg x=20\lg 1.02=0.17200$，反查得 $x=1.4859$，乘 10 得 14.859 亿。(2) 由 $10(1+R{)}^{20}\le 12$ 得 $\lg (1+R)\le 0.00396$，反查 $1+R\le 1.0092$，即 $R\le 0.92\%$。

✅【答案】

Success

(1) 到 2000 年底我国人口将达到 $14.859$ 亿 (2) 每年比上年平均递增率最高为 $0.92\%$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 从 1980 年底到 2000 年底共 $2000-1980=20$ 年。设 2000 年底人口为 $y$，则 $y=10\times 1.02^{20}$。 令 $x=1.02^{20}$，取常用对数：$\lg x=20\lg 1.02=20\times 0.00860=0.17200$。 反查对数值表得 $x=1.4859$，故 $y=10\times 1.4859=14.859$（亿）。 (2) 设最高递增率为 $R$，则 $10(1+R{)}^{20}\le 12$，即 $(1+R{)}^{20}\le 1.2$。 两边取对数：$20\lg (1+R)\le \lg 1.2000=0.07918$，故 $\lg (1+R)\le 0.003959\approx 0.00396$。 反查得 $1+R\le 1.0092$，即 $R\le 0.0092=0.92\%$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数增长与对数估算

核心方法：对数降次与查表

避坑指南：对 $(1+r{)}^{20}$ 取常用对数，用已知对数值反查；复利期数为 $2000-1980=20$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复利模型与对数

结论推广：指数增长用对数求期数或反求增长率

方法推广：查表与数值估算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-07 解-人口增长率与对数
• 1962-全国-01 解-增长率应用题