1981-全国理-03 解-充要条件的判定

本题导读

本题考查充要条件的判定，逐项判断 $A\Rightarrow B$ 与 $B\Rightarrow A$ 是否成立。

📌【题干】

Question

（1981年全国卷(理)） 3. 下表所列各小题中，指出 $A$ 是 $B$ 的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是.

$A$	$B$	$A$ 是 $B$ 的什么条件
四边形 $ABCD$ 为平行四边形	四边形 $ABCD$ 为矩形
$a=3$	$	a
$\theta =150^{\circ }$	$\sin \theta =\frac{1}{2}$
点 $(a,b)$ 在圆 $x^2+y^2=R^2$ 上	$a^2+b^2=R^2$

🔍【思路分析】

破题导航

逐行判断：平行四边形不一定是矩形（$B\Rightarrow A$），矩形一定是平行四边形；再看其余各行。$a=3\Rightarrow |a|=3$ 但反之不成立；$\theta =150^{\circ }\Rightarrow \sin \theta =\frac{1}{2}$ 但反之不成立；点在圆上与坐标满足方程等价。

✅【答案】

Success

(1) 必要条件；(2) 充分条件；(3) 充分条件；(4) 充要条件

✍【详细解析】

Abstract

(1) 平行四边形不一定为矩形，故 $A\text{centernot}\Rightarrow B$；但矩形必为平行四边形，故 $B\Rightarrow A$。所以 $A$ 是 $B$ 的必要条件。 (2) 由 $a=3$ 得 $|a|=3$，故 $A\Rightarrow B$；由 $|a|=3$ 可得 $a=\pm 3$，不一定有 $a=3$，故 $B\text{centernot}\Rightarrow A$。所以 $A$ 是 $B$ 的充分条件。 (3) $\theta =150^{\circ }$ 时 $\sin \theta =\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$，故 $A\Rightarrow B$；但 $\sin \theta =\frac{1}{2}$ 时 $\theta$ 还可为 $30^{\circ }$ 等，故 $B\text{centernot}\Rightarrow A$。所以 $A$ 是 $B$ 的充分条件。 (4) “点 $(a,b)$ 在圆 $x^2+y^2=R^2$ 上”与“$a^2+b^2=R^2$”互为等价条件，故 $A⟺B$，$A$ 是 $B$ 的充要条件。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充要条件的判定

核心方法：命题互推判定

避坑指南：判断“$A$ 是 $B$ 的什么条件”看 $A\Rightarrow B$ 与 $B\Rightarrow A$；主语是 $A$，主被动别颠倒

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：充要条件与集合包含

结论推广：小范围推大范围是充分，反之必要

方法推广：用集合包含关系判断充分必要

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1983-全国理-03 单-充要条件的判定
• 1988-全国卷理-11 单-充要条件